[Aufsatz 190] „Selten“ wird auf einer logarithmischen Skala gemessen

Zusammenfassung

Wenn eine Wahrscheinlichkeit durch Größenordnungen fällt, hört es auf, etwas zu bedeuten, wie viele Male größer das eine als das andere ist. Dieser Aufsatz zeigt an exakten kombinatorischen Werten, dass die richtige Skala für ein seltenes Ereignis der Logarithmus geteilt durch $n$ ist. ES WIRD KEIN NEUER MATHEMATISCHER SATZ BEANSPRUCHT.

Erstens: Der zentrale Grenzwertsatz ist im Schwanz das falsche Instrument. Dafür, dass eine faire Münze einen Mittelwert von $0.75$ erreicht, läuft das Verhältnis der exakten Wahrscheinlichkeit zur Gauß-Näherung $1.63$, $1.42$, $1.11$, $0.690$, $0.271$ — es kreuzt $1$ und fällt weiter (Abschnitt 2).

Zweitens, und das ist der Kern. Die Wahrscheinlichkeit selbst stürzt auf $5.1\times10^{-20}$ ab, während $-\log(\text{Wahrscheinlichkeit})/n$ ruhig auf eine einzige Zahl zuläuft: $0.1939$, $0.1508$, $0.1346$ — wobei sich der Abstand ungefähr halbiert, jedes Mal wenn sich $n$ verdoppelt (Abschnitt 3).

Drittens: Die Zahl, auf die sie zuläuft, ist eine relative Entropie. Ändert man das Ziel auf $3/5$, $2/3$, $3/4$ und $9/10$, so stimmt der Wert bei $n=800$ bis auf $0.004$ mit der relativen Entropie überein (Abschnitt 4).

Viertens: Der Zaun ist der einzelne große Sprung. Bedingt man auf eine seltene große Summe, so bewegt sich der Anteil des größten Terms für das Exponentialgesetz nicht, von $0.0519$ zu $0.0513$, während er für ein Pareto-Gesetz von $0.1404$ auf $\mathbf{0.9180}$ springt (Abschnitt 5).

Fünftens wird ein Zusammenstoß von Wörtern festgehalten. Die Wendung, die in Aufsatz 42 dieser Reihe erscheint, bedeutet die größte Abweichung in einer numerischen Prüfung und hat nichts mit der hier genannten Theorie zu tun (Abschnitt 6).

Tragweite (was nicht behauptet wird)

ES WIRD KEIN NEUER MATHEMATISCHER SATZ BEANSPRUCHT — der Satz von Cramér, Ratenfunktionen, der Satz von Sanov und das Prinzip des einzelnen großen Sprungs für schwere Schwänze sind alle Standard. Und hier wird kein Satz bewiesen — gezeigt wird eine Reihe von Zahlen bei endlichem $n$, und die Existenz des Grenzwerts wird zitiert. Zu Aufsatz 187: jener Aufsatz teilte warum der Grenzwert gaußsch ist in vier Gründe auf. Die Frage hier ist was dort regiert, wo das Gaußsche nicht gilt, eine andere. Zu Aufsatz 137: jener Aufsatz untersuchte die relative Entropie als etwas, das kein Abstand ist. Hier erscheint dieselbe Formel als Exponent — ein Werkzeug, zwei Aufgaben. Hinzugefügt wird, an exakten Werten zu zeigen, dass der zentrale Grenzwertsatz im Schwanz das falsche Instrument ist, zu messen, dass sich der Logarithmus geteilt durch $n$ einpendelt, an vier Zielen zu bestätigen, dass er sich auf eine relative Entropie einpendelt, und den Zaun mit einer fairen Bedingung beim einzelnen großen Sprung anzusetzen.

1. Bezeichnungen und Stellung

Man werfe eine faire Münze $n$-mal und frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Köpfe $a$ erreicht. Das ist eine Summe von Binomialkoeffizienten und lässt sich exakt berechnen; unten wird sie als exakter Bruch geführt. Stichprobengrößen tragen ihre Versuchszahlen.

Stellung: Diese Reihe hält an der Arbeitsdisziplin fest, dass man, wenn eine Größe exponentiell fällt, den Exponenten und nicht das Verhältnis angibt. Dieser Aufsatz zeigt, wo diese Disziplin als Satz innerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie steht.

2. Der zentrale Grenzwertsatz ist im Schwanz das falsche Instrument

Nachprüfung 2.1: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert $0.75$ erreicht, exakt und nach der Gauß-Näherung.

(QED)

Beobachtung 2.2: Das Verhältnis pendelt sich nicht bei eins ein. Es kreuzt eins und fällt weiter. Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt ein Fenster der Breite $1/\sqrt{n}$ um den Mittelwert, und eine feste Abweichung von $0.25$ rückt umso weiter aus diesem Fenster, je mehr $n$ wächst. Ihn hier zu benutzen ist keine Frage mangelnder Genauigkeit: Er ist das falsche Instrument.

3. Der Kern: den Logarithmus durch $n$ teilen

Nachprüfung 3.1: Dieselbe Situation, gemessen wird $-\log(\text{Wahrscheinlichkeit})/n$.

(QED)

Beobachtung 3.2: Die Wahrscheinlichkeit selbst fällt von $0.0207$ auf $5.1\times10^{-20}$, achtzehn Größenordnungen. Der Logarithmus geteilt durch $n$ läuft von $0.194$ auf $0.135$, auf eine einzige Zahl zu, wobei sich der Abstand ungefähr halbiert, wann immer sich $n$ verdoppelt ($0.0200\to0.0117\to0.0067\to0.0038$).

Beobachtung 3.3: Hier steht die Arbeitsdisziplin der Reihe als Satz — ist die Antwort exponentiell, gib den Exponenten an und nicht das Verhältnis. Zu sagen, dass bei $n=320$ die Gauß-Näherung um einen Faktor $3.7$ danebenliegt, trägt wenig. Zu sagen, dass der Exponent $0.1308$ ist, ist eine Aussage über jedes $n$.

4. Die Zahl, auf die sie zuläuft, ist eine relative Entropie

Nachprüfung 4.1: Das Ziel wird geändert und der Wert bei $n=800$ mit der relativen Entropie verglichen.

(QED)

Beobachtung 4.2: Die Formel, die Aufsatz 137 als etwas untersuchte, das kein Abstand ist, erscheint hier als Exponent. Eine Formel, zwei Aufgaben — dort maß sie, wie weit zwei Gesetze auseinanderliegen, hier sagt sie, wie schnell eine Wahrscheinlichkeit stirbt.

Beobachtung 4.3: Und die Asymmetrie wird hier natürlich. „Wie wahrscheinlich sieht eine faire Münze wie eine Dreiviertel-Münze aus“ und „wie wahrscheinlich sieht eine Dreiviertel-Münze fair aus“ sind schlicht verschiedene Fragen.

5. Der Zaun ist der einzelne große Sprung

Beobachtung 5.1: Wie kommt eine große Summe tatsächlich zustande? Viele Terme, jeder ein wenig größer, oder ein Term, der davonläuft?

Nachprüfung 5.2: Summen von $100$ Termen, $400000$ Versuche. Die Schwelle wird für jedes Gesetz so gesetzt, dass das Ereignis gleich selten ist, ohne das der Vergleich bedeutungslos wäre. Die Tabelle gibt den Anteil der Summe, den der größte Term trägt.

(QED)

Beobachtung 5.3: Beim Exponentialgesetz lässt die Bedingung auf eine seltene große Summe den Anteil des größten Terms unbewegt — die Summe wuchs, weil viele Terme jeweils etwas größer waren. Beim Pareto-Gesetz nimmt der größte einzelne Term $92\%$ der Summe ein — ein Sprung erledigte alles.

Beobachtung 5.4: Der exponentielle Abfall von Abschnitt 3 ist also eine Aussage nur über den ersten Fall. Der Zaun ist ein endliches exponentielles Moment, und wenn er bricht, ändert sich die Weise selbst, wie Seltenheit gemessen wird — eine Potenz, kein Logarithmus. Hier steht derselbe Zaun wie der, den Aufsatz 186 an den Schwanz des Fehlers setzte.

6. Die Zählung und ein Zusammenstoß von Wörtern

Beobachtung 6.1

Beobachtung 6.2: Diese drei sind keine Treppe der Genauigkeit. Sie sehen auf verschiedene Orte. Es ist nicht so, dass die Gauß-Näherung einen Korrekturterm bräuchte: eine andere Größe wird gemessen.

Beobachtung 6.3: Ein Zusammenstoß von Wörtern ist festzuhalten wert. Die Wendung, die in Aufsatz 42 dieser Reihe erscheint, bezeichnet die größte Abweichung in einer numerischen Prüfung und hat nichts mit der hier genannten Theorie zu tun. Ein Fall, in dem eine Wendung zwei Dinge deckt, gefunden innerhalb der Reihe selbst.

7. Schluss

1. Der zentrale Grenzwertsatz ist im Schwanz das falsche Instrument (Nachpr. 2.1): das Verhältnis läuft von $1.63$ auf $0.271$ und kreuzt eins.
2. Der Logarithmus durch $n$ pendelt sich ein (Nachpr. 3.1): die Wahrscheinlichkeit fällt achtzehn Größenordnungen, während der Exponent auf $0.135$ zuläuft.
3. Der Abstand halbiert sich, wenn sich $n$ verdoppelt (Beob. 3.2).
4. Er pendelt sich auf eine relative Entropie ein (Nachpr. 4.1): bis auf $0.004$ an vier Zielen.
5. Der Zaun ist der einzelne große Sprung (Nachpr. 5.2): $0.0513$ gegen $0.9180$.
6. Eine Wendung deckt innerhalb dieser Reihe zwei Dinge (Beob. 6.3).

Schluss: Wenn ein Ereignis äußerst selten genannt wird, lautet die nächste Frage, auf welcher Skala es gemessen wurde. Die Wahrscheinlichkeit selbst fällt durch Größenordnungen, also verliert das Sprechen in Verhältnissen die Bedeutung. Teilt man den Logarithmus durch $n$, bleibt eine einzige Zahl, und diese Zahl ist das, was Seltenheit ist — außer in einer Welt, in der ein Sprung genügt, wo es die Zahl überhaupt nicht gibt.

Literatur

1. Cramér, H. (1938). Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités. Actualités Scientifiques et Industrielles, 736.
2. Sanov, I. N. (1957). On the Probability of Large Deviations of Random Variables. Matematicheskii Sbornik, 42.
3. Varadhan, S. R. S. (1966). Asymptotic Probabilities and Differential Equations. Communications on Pure and Applied Mathematics, 19(3).
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5. Embrechts, P., Klüppelberg, C., Mikosch, T. (1997). Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer.
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8. Yamagishi, Y. (2026). The KL Divergence Is Not a Distance, but Its Second Derivative Is a Metric [Aufsatz 137]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081369
9. Yamagishi, Y. (2026). Measuring Overlap, or Measuring Displacement [Aufsatz 139]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081801
10. Yamagishi, Y. (2026). A Census of the Twos [Aufsatz 157]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22091931
11. Yamagishi, Y. (2026). The Fence around Least Squares Is Linearity, Not Normality [Aufsatz 171]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22094287
12. Yamagishi, Y. (2026). When a Proxy Becomes the Target It Stops Being a Proxy [Aufsatz 186]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22105530
13. Yamagishi, Y. (2026). The Gaussian Is Special for More Than One Reason [Aufsatz 187]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22105639
14. Yamagishi, Y. (2026). “Unprovable” Is Not a Property of a Sentence [Aufsatz 189]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22105830

Literaturangabe

Yamagishi, Y. (2026). „Selten“ wird auf einer logarithmischen Skala gemessen [Aufsatz 190]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/190
DOI: 10.5281/zenodo.22106182
ORCID: 0009-0006-8587-3450

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