[Article 641] La conjecture ABC est un théorème pour les polynômes et une conjecture pour les entiers : il manque aux entiers la dérivée

Résumé

Pour des entiers positifs premiers entre eux $a+b=c$, notons $\mathrm{rad}(abc)$ le produit des nombres premiers distincts divisant $abc$, et définissons la qualité $q=\log c/\log\mathrm{rad}(abc)$. La conjecture ABC dit que pour tout $\varepsilon>0$, seuls un nombre fini de triplets ont $q>1+\varepsilon$. La même question peut être posée pour les polynômes, où c’est un théorème. Cet article ne démontre rien ; il compte les deux et les met côte à côte. Aucun théorème ni aucune loi nouvelle n’est revendiqué.

Premièrement, parmi les entiers il existe des triplets avec $q>1$——les triplets avec $q>1$ sont au nombre de $6$ pour $c<10^2$, $31$ pour $10^3$, $120$ pour $10^4$, $418$ pour $10^5$ et $1268$ pour $10^6$. Parmi les $151895$ triplets premiers entre eux avec $c<10^3$, il y en a $31$, une proportion de $0.000204$ (Section 2).

Deuxièmement, les triplets bien au-dessus de $1$ sont rares——des $1268$ triplets avec $c<10^6$, $102$ ont $q>1.2$, $11$ ont $q>1.4$ et seulement $2$ ont $q>1.5$ ; le plus haut est $1+4374=4375$ à $1.567887$. Le triplet connu pour la plus haute qualité, $2+3^{10}\times109=23^5$, a $\mathbf{1.629912}$. La famille $1+(3^{2^k}-1)=3^{2^k}$ garde $q>1$ pour $k=1$ à $6$, mais s’approche de $1$, de $1.292030$ en $k=2$ à $1.056393$ en $k=6$ (Section 3).

Troisièmement, et c’est le cœur. Pour les polynômes, la même inégalité n’échoue jamais——pour des polynômes premiers entre eux $a+b=c$, $\max\deg$ ne dépasse pas le nombre de racines distinctes de $abc$ moins $1$ (le théorème de Mason–Stothers). Cette inégalité, pendant de $\log c\le\log\mathrm{rad}(abc)$ pour les entiers, n’a jamais échoué dans $600$ triplets construits pour avoir des racines répétées, et la famille $a=x^n$, $c=(x+1)^n$ a atteint l’égalité pour $n=2$ à $8$ (Section 4).

Quatrièmement, la preuve pour les polynômes utilise la dérivée, et les entiers n’ont pas de telle dérivée——le wronskien $W=ab'-a'b$ n’est pas $0$ et est divisible $m-1$ fois par chaque racine répétée avec le poids $m$. Dans les $600$ triplets, $W$ était divisible par $abc/\mathrm{rad}(abc)$. Cette étape donne l’inégalité pour les polynômes. Les entiers n’ont rien qui corresponde à $a'$, et l’étape ne se transpose pas (Section 5).

Mots-clés : conjecture abc, radical, théorème de Mason-Stothers, polynômes, wronskien.

Portée (ce qui n’est pas affirmé)

Aucun théorème ni aucune loi nouvelle n’est revendiqué——la conjecture ABC (Masser et Oesterlé, vers $1985$), le théorème pour les polynômes (Stothers $1981$, Mason $1984$), le triplet $2+3^{10}\times109=23^5$ connu pour la plus haute qualité, et les dénombrements de triplets avec $q>1$ sont tous connus. La conjecture ABC n’est pas démontrée——seuls les triplets jusqu’à $c<10^6$ sont comptés, et compter n’est pas démontrer. Le bien-fondé de la preuve revendiquée par Mochizuki ($2012$) n’est pas discuté——on note seulement qu’elle n’a pas été largement acceptée dans la communauté mathématique. Il n’est pas dit qu’« avec une dérivée le cas des entiers serait résolu »——ce qui est montré, c’est seulement quelle étape de la preuve pour les polynômes ne se transpose pas aux entiers. Relation avec les articles précédents : l’Article 236 a mesuré la dimension de l’ensemble des solutions d’une équation différentielle avec le wronskien——ici, le même wronskien compte les racines répétées des polynômes.L’Article 640 a compté que le nombre de façons d’écrire un nombre pair comme somme de deux nombres premiers porte des facteurs fixés par la division par de petits nombres premiers, et a noté que compter n’est pas démontrer——ici aussi, on compte la rencontre d’une addition $a+b=c$ avec la structure multiplicative $\mathrm{rad}(abc)$. Ce qui est ajouté, c’est compter les triplets entiers jusqu’à $10^6$ en confrontant trois manières de compter, vérifier l’inégalité pour les polynômes et la divisibilité du wronskien sur des triplets aléatoires, et placer le séparateur sur l’existence ou non d’une dérivée.

1. Notations et question

Entiers : pour des entiers positifs premiers entre eux $a<b$ et $c=a+b$, soit $\mathrm{rad}(abc)$ le produit des nombres premiers distincts divisant $abc$, et définissons la qualité

$$ q=\frac{\log c}{\log\mathrm{rad}(abc)}. $$

$q>1$ signifie $c>\mathrm{rad}(abc)$. La conjecture ABC dit que pour tout $\varepsilon>0$, seuls un nombre fini de triplets ont $q>1+\varepsilon$.

Polynômes : pour des polynômes premiers entre eux à coefficients complexes $a+b=c$ (non tous constants), soit $n_0(abc)$ le nombre de racines distinctes de $abc$. Le degré correspond au $\log c$ entier, et $n_0(abc)$ à $\log\mathrm{rad}(abc)$.

Question : pourquoi la même question est-elle un théorème pour les polynômes et encore une conjecture pour les entiers ? La différence est examinée en nombres.

2. Compter les triplets entiers

Calcul 2.1 : les triplets ont été comptés par recherche exhaustive pour $c<2000$, par un dénombrement qui restreint les candidats à l’aide de $\mathrm{rad}(a)\,\mathrm{rad}(b)\,\mathrm{rad}(c)<c$ jusqu’à $c<10^5$, et par une version plus rapide de la même restriction jusqu’à $c<10^6$ ; à chaque étape les deux dénombrements ont donné exactement les mêmes triplets.

Les $6$ triplets avec $c<100$ sont $1+8=9$, $1+48=49$, $1+63=64$, $1+80=81$, $5+27=32$ et $32+49=81$. Sur les $1501$ triplets premiers entre eux avec $c<100$, $6$ ont $q>1$ (une proportion de $0.003997$) ; avec $c<10^3$, $31$ sur $151895$ (une proportion de $0.000204$).

Observation 2.2 : les triplets avec $q>1$ existent, mais ils sont rares. Dans chacun d’eux, l’un de $a$, $b$, $c$ contient le même nombre premier de nombreuses fois——pour que $c$ dépasse $\mathrm{rad}(abc)$, des nombres premiers doivent se répéter.

3. Triplets de haute qualité

Calcul 3.1 : les $1268$ triplets avec $c<10^6$ ont été rangés par qualité.

Les triplets avec $q$ au-dessus de $1.1$, $1.2$, $1.3$, $1.4$ et $1.5$ sont au nombre de $379$, $102$, $29$, $11$ et $2$.

Calcul 3.2 : le triplet connu pour la plus haute qualité, $2+3^{10}\times109=23^5$ ($2+6436341=6436343$), a été vérifié. Il est premier entre eux, avec $\mathrm{rad}(abc)=15042$, $\log c=15.677471$ et $\log\mathrm{rad}(abc)=9.618602$, ce qui donne $q=\mathbf{1.629912}$.

Calcul 3.3 : dans $1+(3^{2^k}-1)=3^{2^k}$, $3^{2^k}-1$ est divisible par $2^{k+2}$, de sorte que $\mathrm{rad}(abc)$ tombe sous $c$. Comme $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^k}-1)(3^{2^k}+1)$ et que le second facteur est pair, la puissance de $2$ croît d’au moins un à chaque pas en $k$, et la famille se poursuit sans fin. La divisibilité a été vérifiée pour $k=1$ à $6$.

Observation 3.4 : il y a une infinité de triplets avec $q>1$, mais la qualité de cette famille s’approche de $1$. Ce que la conjecture ABC dit fini, c’est l’ensemble avec $q>1+\varepsilon$, non l’ensemble avec $q>1$——la substance de la conjecture n’est pas de dépasser $1$, mais que dépasser $1$ d’une marge fixe ne puisse se poursuivre indéfiniment.

4. Polynômes

Calcul 4.1 : $a$ et $b$ ont été construits à partir de puissances de petits polynômes de façon à avoir des racines répétées, avec $c=a+b$, et $600$ triplets premiers entre eux ont été produits au hasard. Dans chaque triplet, $\max\deg\le n_0(abc)-1$ a été vérifié ; la plus petite valeur de $(n_0(abc)-1)-\max\deg$ était $1$, et la plus grande de $\max\deg/(n_0(abc)-1)$ était $0.875000$.

Calcul 4.2 : avec $a=x^n$, $c=(x+1)^n$ et $b=c-a$, on a $n_0(abc)=n+1$ pour $n=2$ à $8$, ce qui atteint l’égalité $\max\deg=n_0(abc)-1$.

Observation 4.3 : c’est le cœur : l’inégalité qui échoue pour les entiers n’échoue jamais pour les polynômes. Pour les entiers, $\log c\le\log\mathrm{rad}(abc)$ a échoué $1268$ fois avec $c<10^6$. La même inégalité pour les polynômes, $\max\deg\le n_0(abc)-1$, n’a jamais échoué dans $600$ triplets, atteignant l’égalité sans jamais la dépasser——ce qui reste une conjecture pour les entiers est, pour les polynômes, un théorème qui n’a même pas besoin de la marge $\varepsilon$.

5. L’étape clé : le wronskien

Observation 5.1 : la preuve pour les polynômes utilise le wronskien

$$ W=ab'-a'b=ac'-a'c $$

(les deux formes coïncident parce que $c=a+b$). Si $a$ a une racine $x_0$ de poids $m$, alors $a$ et $a'$ sont tous deux divisibles par $(x-x_0)^{m-1}$, et $W$ l’est aussi. Il en va de même pour les racines de $b$ d’après la première forme et de $c$ d’après la seconde. Comme ils sont premiers entre eux, $W$ est divisible par $abc/\mathrm{rad}(abc)$. D’autre part, $W$ est de degré au plus $\deg a+\deg b-1$, donc

$$ \deg(abc)-n_0(abc)\le\deg a+\deg b-1, $$

ce qui donne $\deg c\le n_0(abc)-1$ (et de même pour les deux autres).

Calcul 5.2 : dans les $600$ triplets du Calcul 4.1, $W$ n’était pas $0$ et était divisible par $abc/\mathrm{rad}(abc)$.

Observation 5.3 : les entiers n’ont rien qui corresponde à $a'$. Pour les polynômes, la dérivée porte chaque racine répétée dans $W$ « une fois de moins », où elle peut être confrontée à la borne sur le degré. Pour les entiers, on ne dispose d’aucune opération qui abaisse d’un la répétition d’un nombre premier et la porte dans un autre nombre d’une manière qui s’accorde avec l’addition——c’est là qu’une étape de la preuve pour les polynômes ne se transpose pas aux entiers.

6. Fermat pour les polynômes

Calcul 6.1 : pour $n=2$, $(1-t^2)^2+(2t)^2=(1+t^2)^2$ est une solution en polynômes premiers entre eux.

Observation 6.2 : pour $n\ge3$ il n’y a pas de solution en polynômes premiers entre eux. En appliquant Mason–Stothers à $x^n+y^n=z^n$, avec $D$ le plus grand degré de $x$, $y$, $z$, on obtient $nD\le n_0(xyz)-1\le3D-1$. Avec $D\ge1$ cela exige $n<3$——Fermat pour les polynômes suit en une ligne. Fermat pour les entiers a pris plus de trois cents ans, jusqu’à la preuve de Wiles ($1995$).

7. Le séparateur

Observation 7.1 : le séparateur est l’existence ou non d’une dérivée. Les polynômes en ont une ; le wronskien compte les racines répétées et fait de l’inégalité un théorème. Les entiers n’ont pas de dérivée dans ce rôle ; l’inégalité échoue $1268$ fois et survit comme conjecture avec la marge $\varepsilon$——la même rencontre de l’addition et de la répétition se scinde en théorème et en conjecture selon qu’il existe ou non une dérivée.

Observation 7.2 : à côté de l’Article 236 et de l’Article 640. Dans l’Article 236, le wronskien mesurait la dimension de l’ensemble des solutions d’une équation différentielle. Dans l’Article 640, le nombre de façons d’écrire un nombre pair comme somme de deux nombres premiers portait des facteurs fixés par les restes de la division——ici, le même wronskien compte les racines répétées des polynômes et mesure la rencontre de l’addition $a+b=c$ avec la structure multiplicative $\mathrm{rad}(abc)$. Et comme dans l’Article 640, compter du côté des entiers n’est pas démontrer.

Observation 7.3 : ce qui n’est pas dit. La conjecture ABC n’est pas démontrée, le bien-fondé de la preuve revendiquée par Mochizuki n’est pas discuté, et il n’est pas dit qu’« avec une dérivée le cas des entiers serait résolu »——ce qui est montré, ce sont le dénombrement des triplets entiers, les vérifications de l’inégalité pour les polynômes et du wronskien, et quelle étape de la preuve pour les polynômes ne se transpose pas aux entiers.

8. Appel et conclusion

1. $1268$ triplets avec $q>1$ pour $c<10^6$ (Calcul 2.1) : trois manières de compter concordent.
2. $31$ sur $151895$ avec $c<10^3$ (Calcul 2.1) : rares.
3. $2$ triplets avec $q>1.5$ pour $c<10^6$ (Calcul 3.1) : le plus haut est $1.567887$.
4. $2+3^{10}\times109=23^5$ à $\mathbf{1.629912}$ (Calcul 3.2) : le plus haut connu.
5. la qualité de la famille s’approche de $1$ (Calcul 3.3) : de $1.292030$ à $1.056393$.
6. la substance est la marge $\varepsilon$ (Observation 3.4) : non le fait de dépasser $1$.
7. l’inégalité pour les polynômes vaut dans $600$ triplets (Calcul 4.1) : avec une famille d’égalité.
8. ce qui échoue pour les entiers est un théorème pour les polynômes (Observation 4.3) : le cœur.
9. $W$ divisible par $abc/\mathrm{rad}(abc)$ (Calcul 5.2) : l’étape clé.
10. les entiers n’ont pas de $a'$ (Observation 5.3) : Article 236 et Article 640.

Conclusion : Pour $a+b=c$ premiers entre eux, les triplets dont la qualité $q=\log c/\log\mathrm{rad}(abc)$ dépasse $1$ sont au nombre de $1268$ avec $c<10^6$, seulement $2$ dépassent $1.5$, et le plus haut connu, $2+3^{10}\times109=23^5$, a $1.629912$. Pour les polynômes, la même inégalité $\max\deg\le n_0(abc)-1$ n’échoue jamais (le théorème de Mason–Stothers)——sa preuve utilise le fait que le wronskien $ab'-a'b$ est divisible par la partie répétée des racines, et les entiers n’ont pas de telle dérivée. Le séparateur est l’existence ou non d’une dérivée. Situé parmi les articles précédents——le wronskien qui mesurait la dimension des solutions dans l’Article 236 compte ici des racines répétées. Pour être honnête——ni une preuve de la conjecture ABC ni le bien-fondé de la revendication de Mochizuki ne sont abordés, et le dénombrement ne va que jusqu’à $c<10^6$.

Références

1. Granville, A., & Tucker, T. J. (2002). It’s as easy as abc. Notices of the American Mathematical Society.
2. Mason, R. C. (1984). Diophantine Equations over Function Fields. Cambridge University Press.
3. Stothers, W. W. (1981). Polynomial identities and Hauptmoduln. The Quarterly Journal of Mathematics.
4. Yamagishi, Y. (2026). One and the Same “= 0” Returns Five Different Kinds of Collection [Article 236]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22129043
5. Yamagishi, Y. (2026). The Number of Ways to Write an Even Number as a Sum of Two Primes Differs About Twofold by Whether It Is Divisible by 3 [Article 640]. Zenodo.

Référence

Yamagishi, Y. (2026). La conjecture ABC est un théorème pour les polynômes et une conjecture pour les entiers : il manque aux entiers la dérivée [Article 641]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/641
DOI: 10.5281/zenodo.22805478
ORCID: 0009-0006-8587-3450

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