Sommario
Per interi positivi coprimi $a+b=c$, si scriva $\mathrm{rad}(abc)$ per il prodotto dei primi distinti che dividono $abc$, e si definisca la qualità $q=\log c/\log\mathrm{rad}(abc)$. La congettura ABC afferma che per ogni $\varepsilon>0$ solo un numero finito di terne ha $q>1+\varepsilon$. La stessa domanda si può porre per i polinomi, dove è un teorema. Questo articolo non dimostra nulla; conta entrambi i casi e li mette fianco a fianco. Non si rivendica alcun teorema né alcuna legge nuova.
Primo, fra gli interi esistono terne con $q>1$——le terne con $q>1$ sono $6$ con $c<10^2$, $31$ con $10^3$, $120$ con $10^4$, $418$ con $10^5$ e $1268$ con $10^6$. Fra le $151895$ terne coprime con $c<10^3$ ce ne sono $31$, una frazione di $0.000204$ (Sezione 2).
Secondo, le terne molto al di sopra di $1$ sono rare——delle $1268$ terne con $c<10^6$, $102$ hanno $q>1.2$, $11$ hanno $q>1.4$ e solo $2$ hanno $q>1.5$; la più alta è $1+4374=4375$ a $1.567887$. La terna nota per la qualità più alta, $2+3^{10}\times109=23^5$, ha $\mathbf{1.629912}$. La famiglia $1+(3^{2^k}-1)=3^{2^k}$ mantiene $q>1$ per $k=1$ fino a $6$, ma si avvicina a $1$, da $1.292030$ a $k=2$ a $1.056393$ a $k=6$ (Sezione 3).
Terzo, ed è il nucleo. Per i polinomi la stessa disuguaglianza non fallisce mai——per polinomi coprimi $a+b=c$, $\max\deg$ non supera il numero di radici distinte di $abc$ meno $1$ (il teorema di Mason–Stothers). Questa disuguaglianza, controparte di $\log c\le\log\mathrm{rad}(abc)$ per gli interi, non è mai fallita in $600$ terne costruite per avere radici ripetute, e la famiglia $a=x^n$, $c=(x+1)^n$ ha raggiunto l’uguaglianza per $n=2$ fino a $8$ (Sezione 4).
Quarto, la dimostrazione per i polinomi usa la derivata, e gli interi non hanno una tale derivata——il wronskiano $W=ab'-a'b$ non è $0$ ed è divisibile $m-1$ volte per ogni radice ripetuta con peso $m$. In tutte le $600$ terne, $W$ era divisibile per $abc/\mathrm{rad}(abc)$. Questo passo dà la disuguaglianza per i polinomi. Gli interi non hanno nulla che corrisponda ad $a'$, e il passo non si trasferisce (Sezione 5).
Parole chiave: congettura abc, radicale, teorema di Mason-Stothers, polinomi, wronskiano.
Portata (ciò che non si afferma)
Non si rivendica alcun teorema né alcuna legge nuova——la congettura ABC (Masser e Oesterlé, intorno al $1985$), il teorema per i polinomi (Stothers $1981$, Mason $1984$), la terna $2+3^{10}\times109=23^5$ nota per la qualità più alta, e i conteggi delle terne con $q>1$ sono tutti noti. La congettura ABC non viene dimostrata——si contano solo le terne fino a $c<10^6$, e contare non è dimostrare. La validità della dimostrazione rivendicata da Mochizuki ($2012$) non viene discussa——si nota solo che non è stata ampiamente accettata nella comunità matematica. Non si dice che «con una derivata il caso degli interi sarebbe risolto»——ciò che si mostra è solo quale passo della dimostrazione per i polinomi non si trasferisce agli interi. Rapporto con gli articoli precedenti: l’Articolo 236 ha misurato la dimensione dell’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale con il wronskiano——qui lo stesso wronskiano conta le radici ripetute dei polinomi.L’Articolo 640 ha contato che il numero di modi di scrivere un numero pari come somma di due primi porta fattori fissati dalla divisione per piccoli primi, e ha notato che contare non è dimostrare——anche qui si conta l’incontro di un’addizione $a+b=c$ con la struttura moltiplicativa $\mathrm{rad}(abc)$. Ciò che si aggiunge è contare le terne intere fino a $10^6$ confrontando tre modi di contare, verificare la disuguaglianza per i polinomi e la divisibilità del wronskiano su terne casuali, e porre il separatore sull’esistenza o meno di una derivata.
1. Notazione e domanda
Interi: per interi positivi coprimi $a<b$ e $c=a+b$, sia $\mathrm{rad}(abc)$ il prodotto dei primi distinti che dividono $abc$, e si definisca la qualità
$$ q=\frac{\log c}{\log\mathrm{rad}(abc)}. $$$q>1$ significa $c>\mathrm{rad}(abc)$. La congettura ABC afferma che per ogni $\varepsilon>0$ solo un numero finito di terne ha $q>1+\varepsilon$.
Polinomi: per polinomi coprimi a coefficienti complessi $a+b=c$ (non tutti costanti), sia $n_0(abc)$ il numero di radici distinte di $abc$. Il grado corrisponde al $\log c$ intero, e $n_0(abc)$ a $\log\mathrm{rad}(abc)$.
Domanda: perché la stessa domanda è un teorema per i polinomi e ancora una congettura per gli interi? La differenza viene esaminata in numeri.
2. Contare le terne intere
Calcolo 2.1: le terne sono state contate con una ricerca esaustiva per $c<2000$, con un conteggio che restringe i candidati usando $\mathrm{rad}(a)\,\mathrm{rad}(b)\,\mathrm{rad}(c)<c$ fino a $c<10^5$, e con una versione più veloce della stessa restrizione fino a $c<10^6$; a ogni stadio i due conteggi hanno dato esattamente le stesse terne.
| intervallo di $c$ | $<10^2$ | $<10^3$ | $<10^4$ | $<10^5$ | $<10^6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| terne con $q>1$ | $6$ | $31$ | $120$ | $418$ | $1268$ |
Le $6$ terne con $c<100$ sono $1+8=9$, $1+48=49$, $1+63=64$, $1+80=81$, $5+27=32$ e $32+49=81$. Di tutte le $1501$ terne coprime con $c<100$, $6$ hanno $q>1$ (una frazione di $0.003997$); con $c<10^3$, $31$ su $151895$ (una frazione di $0.000204$).
Osservazione 2.2: le terne con $q>1$ esistono, ma sono rare. In ciascuna, uno fra $a$, $b$, $c$ contiene lo stesso primo molte volte——perché $c$ superi $\mathrm{rad}(abc)$, i primi devono ripetersi.
3. Terne di alta qualità
Calcolo 3.1: le $1268$ terne con $c<10^6$ sono state ordinate per qualità.
| terna | $\mathrm{rad}(abc)$ | $q$ |
|---|---|---|
| $1+4374=4375$ | $210$ | $1.567887$ |
| $343+59049=59392$ | $1218$ | $1.547075$ |
| $121+255879=256000$ | $4290$ | $1.488865$ |
| $37+32768=32805$ | $1110$ | $1.482910$ |
| $1+2400=2401$ | $210$ | $1.455673$ |
Le terne con $q$ sopra $1.1$, $1.2$, $1.3$, $1.4$ e $1.5$ sono $379$, $102$, $29$, $11$ e $2$.
Calcolo 3.2: la terna nota per la qualità più alta, $2+3^{10}\times109=23^5$ ($2+6436341=6436343$), è stata verificata. È coprima, con $\mathrm{rad}(abc)=15042$, $\log c=15.677471$ e $\log\mathrm{rad}(abc)=9.618602$, il che dà $q=\mathbf{1.629912}$.
Calcolo 3.3: in $1+(3^{2^k}-1)=3^{2^k}$, $3^{2^k}-1$ è divisibile per $2^{k+2}$, cosicché $\mathrm{rad}(abc)$ scende sotto $c$. Poiché $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^k}-1)(3^{2^k}+1)$ e il secondo fattore è pari, la potenza di $2$ cresce di almeno uno a ogni passo in $k$, e la famiglia prosegue senza fine. La divisibilità è stata verificata per $k=1$ fino a $6$.
| $k$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $q$ | $1.226294$ | $1.292030$ | $1.235303$ | $1.155623$ | $1.095349$ | $1.056393$ |
Osservazione 3.4: ci sono infinite terne con $q>1$, ma la qualità di questa famiglia si avvicina a $1$. Ciò che la congettura ABC dice finito è l’insieme con $q>1+\varepsilon$, non l’insieme con $q>1$——la sostanza della congettura non è superare $1$, ma che superare $1$ di un margine fisso non possa continuare per sempre.
4. Polinomi
Calcolo 4.1: $a$ e $b$ sono stati costruiti da potenze di piccoli polinomi in modo da avere radici ripetute, con $c=a+b$, e $600$ terne coprime sono state prodotte a caso. In ogni terna valeva $\max\deg\le n_0(abc)-1$; il valore più piccolo di $(n_0(abc)-1)-\max\deg$ era $1$, e il più grande di $\max\deg/(n_0(abc)-1)$ era $0.875000$.
Calcolo 4.2: con $a=x^n$, $c=(x+1)^n$ e $b=c-a$, si ha $n_0(abc)=n+1$ per $n=2$ fino a $8$, raggiungendo l’uguaglianza $\max\deg=n_0(abc)-1$.
Osservazione 4.3: questo è il nucleo: la disuguaglianza che fallisce per gli interi non fallisce mai per i polinomi. Per gli interi, $\log c\le\log\mathrm{rad}(abc)$ è fallita $1268$ volte con $c<10^6$. La stessa disuguaglianza per i polinomi, $\max\deg\le n_0(abc)-1$, non è mai fallita in $600$ terne, raggiungendo l’uguaglianza ma senza mai oltrepassarla——ciò che per gli interi resta una congettura è, per i polinomi, un teorema che non ha bisogno nemmeno del margine $\varepsilon$.
5. Il passo chiave: il wronskiano
Osservazione 5.1: la dimostrazione per i polinomi usa il wronskiano
$$ W=ab'-a'b=ac'-a'c $$(le due forme coincidono perché $c=a+b$). Se $a$ ha una radice $x_0$ con peso $m$, sia $a$ sia $a'$ sono divisibili per $(x-x_0)^{m-1}$, e così $W$. Lo stesso vale per le radici di $b$ dalla prima forma e di $c$ dalla seconda. Essendo coprimi, $W$ è divisibile per $abc/\mathrm{rad}(abc)$. D’altra parte, $W$ ha grado al più $\deg a+\deg b-1$, dunque
$$ \deg(abc)-n_0(abc)\le\deg a+\deg b-1, $$da cui $\deg c\le n_0(abc)-1$ (e analogamente per gli altri due).
Calcolo 5.2: in tutte le $600$ terne del Calcolo 4.1, $W$ non era $0$ ed era divisibile per $abc/\mathrm{rad}(abc)$.
Osservazione 5.3: gli interi non hanno nulla che corrisponda ad $a'$. Per i polinomi la derivata porta ogni radice ripetuta in $W$ «una volta di meno», dove può essere messa a confronto con il limite sul grado. Per gli interi non si ha a disposizione alcuna operazione che abbassi di uno la ripetizione di un primo e la porti in un altro numero in un modo compatibile con l’addizione——è qui che un passo della dimostrazione per i polinomi non si trasferisce agli interi.
6. Fermat per i polinomi
Calcolo 6.1: per $n=2$, $(1-t^2)^2+(2t)^2=(1+t^2)^2$ è una soluzione in polinomi coprimi.
Osservazione 6.2: per $n\ge3$ non c’è soluzione in polinomi coprimi. Applicando Mason–Stothers a $x^n+y^n=z^n$, con $D$ il grado massimo di $x$, $y$, $z$, si ottiene $nD\le n_0(xyz)-1\le3D-1$. Con $D\ge1$ ciò richiede $n<3$——Fermat per i polinomi segue in una riga. Fermat per gli interi ha richiesto più di trecento anni, fino alla dimostrazione di Wiles ($1995$).
7. Il separatore
Osservazione 7.1: il separatore è se ci sia una derivata.I polinomi ne hanno una; il wronskiano conta le radici ripetute e trasforma la disuguaglianza in un teorema. Gli interi non hanno una derivata in quel ruolo; la disuguaglianza fallisce $1268$ volte e sopravvive come congettura con il margine $\varepsilon$——lo stesso incontro di addizione e ripetizione si divide in teorema e congettura a seconda che ci sia o no una derivata.
Osservazione 7.2: accanto all’Articolo 236 e all’Articolo 640. Nell’Articolo 236 il wronskiano misurava la dimensione dell’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale. Nell’Articolo 640 il numero di modi di scrivere un numero pari come somma di due primi portava fattori fissati dai resti della divisione——qui lo stesso wronskiano conta le radici ripetute dei polinomi e misura l’incontro dell’addizione $a+b=c$ con la struttura moltiplicativa $\mathrm{rad}(abc)$. E come nell’Articolo 640, contare dal lato degli interi non è dimostrare.
Osservazione 7.3: ciò che non si dice. La congettura ABC non viene dimostrata, la validità della dimostrazione rivendicata da Mochizuki non viene discussa, e non si dice che «con una derivata il caso degli interi sarebbe risolto»——ciò che si mostra è il conteggio delle terne intere, le verifiche della disuguaglianza per i polinomi e del wronskiano, e quale passo della dimostrazione per i polinomi non si trasferisce agli interi.
8. Appello e chiusura
- $1268$ terne con $q>1$ per $c<10^6$ (Calcolo 2.1): tre modi di contare concordano.
- $31$ su $151895$ con $c<10^3$ (Calcolo 2.1): rare.
- $2$ terne con $q>1.5$ per $c<10^6$ (Calcolo 3.1): la più alta è $1.567887$.
- $2+3^{10}\times109=23^5$ a $\mathbf{1.629912}$ (Calcolo 3.2): la più alta nota.
- la qualità della famiglia si avvicina a $1$ (Calcolo 3.3): da $1.292030$ a $1.056393$.
- la sostanza è il margine $\varepsilon$ (Osservazione 3.4): non il superare $1$.
- la disuguaglianza per i polinomi vale in $600$ terne (Calcolo 4.1): con una famiglia di uguaglianza.
- ciò che fallisce per gli interi è un teorema per i polinomi (Osservazione 4.3): il nucleo.
- $W$ divisibile per $abc/\mathrm{rad}(abc)$ (Calcolo 5.2): il passo chiave.
- gli interi non hanno $a'$ (Osservazione 5.3): Articolo 236 e Articolo 640.
Chiusura: Per $a+b=c$ coprimi, le terne la cui qualità $q=\log c/\log\mathrm{rad}(abc)$ supera $1$ sono $1268$ con $c<10^6$, solo $2$ superano $1.5$, e la più alta nota, $2+3^{10}\times109=23^5$, ha $1.629912$. Per i polinomi la stessa disuguaglianza $\max\deg\le n_0(abc)-1$ non fallisce mai (il teorema di Mason–Stothers)——la sua dimostrazione usa il fatto che il wronskiano $ab'-a'b$ è divisibile per la parte ripetuta delle radici, e gli interi non hanno una tale derivata. Il separatore è se ci sia una derivata. Collocato fra gli articoli precedenti——il wronskiano che nell’Articolo 236 misurava la dimensione delle soluzioni qui conta radici ripetute. Detto onestamente——non si entra né in una dimostrazione della congettura ABC né nella validità della rivendicazione di Mochizuki, e il conteggio arriva solo fino a $c<10^6$.
Bibliografia
- Granville, A., & Tucker, T. J. (2002). It’s as easy as abc. Notices of the American Mathematical Society.
- Mason, R. C. (1984). Diophantine Equations over Function Fields. Cambridge University Press.
- Stothers, W. W. (1981). Polynomial identities and Hauptmoduln. The Quarterly Journal of Mathematics.
- Yamagishi, Y. (2026). One and the Same “= 0” Returns Five Different Kinds of Collection [Articolo 236]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22129043
- Yamagishi, Y. (2026). The Number of Ways to Write an Even Number as a Sum of Two Primes Differs About Twofold by Whether It Is Divisible by 3 [Articolo 640]. Zenodo.
Riferimento
Yamagishi, Y. (2026). La congettura ABC è un teorema per i polinomi e una congettura per gli interi: agli interi manca la derivata [Articolo 641]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/641
DOI: 10.5281/zenodo.22805478
ORCID: 0009-0006-8587-3450
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