Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

「マグニチュード」は一つではない。$M_L$・$m_b$・$M_S$・$M_w$ の四つがあり、$M_w$ 以外は大地震で頭打ちになる。本稿が問うのは、頭打ちになっているのは地震か、尺度かである。答は、尺度である。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、四つの尺度は測る周期が違う。$M_L$ が $0.1$ 秒、$m_b$ が $1$ 秒、$M_S$ が $20$ 秒、$M_w$ は周期を選ばない（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$m_b$ は $M\simeq6.5$ で頭打ちになるので、$M_w=9.0$ の東北地震を測るとエネルギーを $\mathbf{5623}$ 分の一に見積もる（第3節）。

第三に、$M_S$ でも $7.94$ 倍足りない。$M_S=8.4$ と $M_w=9.0$ の差 $0.6$ は、エネルギーでは $\mathbf{7.9433}$ 倍である（第3節）。

第四に、小さい地震では起きない。$1995$ 年兵庫県南部では差が $0.10$、エネルギーで $1.41$ 倍にとどまる（第4節）。

第五に、原因は破壊の継続時間である。東北の破壊は $\mathbf{150}$ 秒続き、$M_S$ の見る $20$ 秒の $\mathbf{7.5}$ 倍である（第5節）。

第六に、分離子は「震源時間が観測周期を超えるか」である。$M_w$ だけが飽和しないのは、周期を選ばず $M_0$ を直接測るからである（第6節）。

射程（何を示さないか）

新しい数学定理も新しい法則も主張しない。$M_w=\frac{2}{3}\log_{10}M_0-6.07$、$\log_{10}E=1.5M+4.8$、各尺度の飽和値、東北地震の破壊継続時間は、いずれも標準的である。地震学を作らない。使うのは二つの一次式と、一つの割り算だけである。地震を予知しない。発生時期も場所も規模も一切扱わない。震源過程を論じない。破壊の伝播も、すべりの分布も扱わない。継続時間を代表値として置くだけである。飽和値の精度を主張しない。$M_L\simeq6.8$、$m_b\simeq6.5$、$M_S\simeq8.5$ はおおよその値であり、観測網と手続きによって $\pm0.3$ 程度動く。$\omega^{-2}$ 模型を主張しない。第5節の $1.7501$ は模型が与える上限であって、実測の $0.60$ を説明しきる値ではない。模型と実測の差そのものを、本稿は説明しない。$M_w$ が完全だと言わない。$M_w$ にも $M_0$ の推定誤差があり、飽和しないというだけである。個別の地震の値を主張しない。表の $M_w$・$M_S$ は文献で広く用いられている代表値であり、機関によって $\pm0.1$ 程度異なる。既刊との関係：論文117 はグーテンベルク＝リヒターの冪則を扱った。あちらは地震の個数と大きさの関係であり、本稿は尺度そのものの構成である。同じ地震を材料にしているが、問いが違う。論文190 は「稀」を対数の目盛りで測った。本稿も対数目盛りの上で $0.6$ という差が $7.94$ 倍になることを扱う。論文255 は「精度」が二つあり較正で消えるのは一方だけだと分けた。本稿の飽和は較正で消えない側であり、尺度の構成に由来する。論文140 は対称性が比を決め力学が尺度を決めると分けた。本稿は尺度の側が壊れる場合を扱う。加えたのは四つの尺度を観測周期で並べたこと、$m_b$ が東北地震のエネルギーを $5623$ 分の一に見積もると計算したこと、同じ手続きが小さい地震では $1.41$ 倍しかずれないと確かめたこと、破壊継続時間と観測周期の比 $7.5$ を分離子として書いたことである。

1. 記法と位置づけ

使う式は二つだけである。

$$M_w=\tfrac23\log_{10}M_0-6.07,\qquad \log_{10}E=1.5M+4.8$$

ここで $M_0$ は地震モーメント（$\mathrm{N m}$）、$E$ はエネルギー（$\mathrm{J}$）である。

検算 1.1：$M_w=9.0$ を代入する。

観察 1.2　$M$ が $1$ 増えると、エネルギーは $\mathbf{31.6228}$ 倍になる。$2$ 増えると $\mathbf{1000}$ 倍ちょうどである。$0.1$ の差でも $1.41$ 倍であり、小数第一位が効く。

問い：$M_L$・$m_b$・$M_S$ は大地震で頭打ちになる。頭打ちになっているのは地震か、尺度か。

2. 四つの尺度は、測る周期が違う

検算 2.1：それぞれが何を見ているかを並べる。

観察 2.2　飽和する値の順序が、測る周期の順序と一致している。$0.1$ 秒 $\to6.8$、$1$ 秒 $\to6.5$、$20$ 秒 $\to8.5$、長い周期を見る尺度ほど、遅く頭打ちになる。

観察 2.3　$M_w$ だけが列の外にある。$M_w$ はどの周期の波の振幅も見ていない。見ているのは $M_0=\mu A \bar{d}$、すなわち剛性率・破壊面積・平均すべり量である。

観察 2.4　$M_L$ の飽和（$6.8$）が $m_b$（$6.5$）より遅いのは、周期の順序と食い違う。正直に書けば、飽和値は周期だけで決まるのではなく、観測網と手続きにも依る。本稿は周期を主要因として扱うが、唯一の要因だとは主張しない。

3. 芯：$m_b$ は東北地震を $5623$ 分の一に見積もる

設定：$2011$ 年東北地震は $M_w=9.0$、$E=1.9953\times10^{18}$ J である。飽和した尺度で測ると、いくつになるか。

検算 3.1：

観察 3.2　$m_b$ で測ると、エネルギーを $\mathbf{5623}$ 分の一に見積もる。$m_b=6.5$ という数字は「中規模の地震」を意味する。同じ地震を、$m_b$ は中規模だと言い、$M_w$ は史上第四位だと言う。

観察 3.3　$M_S$ でも $\mathbf{7.9433}$ 倍足りない。$M_S=8.4$ と $M_w=9.0$ の差は $0.6$ にすぎないが、対数目盛りの上の $0.6$ である。論文190 が書いたとおり、差ではなく比で読まねばならない。

検算 3.4：他の巨大地震でも同じことが起きているかを見る。

観察 3.5　$M_w$ が大きいほど差が大きい。ただし単調ではない。$2004$ スマトラは $M_w=9.1$ で差が $0.30$ しかない。$M_w$ だけでは決まらず、破壊の継続時間が効いている（第5節）。

4. 小さい地震では、起きない

検算 4.1：飽和値より小さい地震を同じ表に入れる。

観察 4.2　$M_S$ の飽和値 $8.5$ より下では、差は $0.1$ 程度にとどまる。$M_S$ は壊れているのではなく、範囲の外で使われている。尺度に罪はない。

観察 4.3　これは論文255 の区別と身分が違う。論文255 の系統誤差は較正で消えるが、この飽和は較正では消えない。尺度の構成そのものが、大きい地震を見られないようにできている。

観察 4.4　したがって「$M_S$ に補正をかけて $M_w$ にする」ことはできない。補正すべき量が観測されていないからである。$20$ 秒の波は、$150$ 秒の破壊の一部しか運んでいない。

5. 原因は、破壊の継続時間である

設定：地震は瞬間ではない。断層は端から端まで裂けるのに時間がかかる。

検算 5.1：東北地震について、二つの時間を比べる。

観察 5.2　$20$ 秒の波は、$150$ 秒かけて起きた出来事の一部しか見ていない。断層の端が裂けている頃には、始めの方はもう終わっている。同時に足し合わされない。

検算 5.3：周波数で書き直す。

観察 5.4　模型は $1.7501$ のずれを与え、実測は $0.60$ である。模型は上限を与えているにすぎない。$M_S$ の手続きには周期の帯があり、単一周波数ではないからである。

観察 5.5　正直に書くべき点、本稿は $1.7501$ と $0.60$ の差を説明しない。示せるのは向きと桁であって、値ではない。模型が正しい向きに、十分な大きさのずれを予言するという点だけである。

6. 分離子と、同じ一語が覆う幅

観察 6.1　分離子、何を動かすと、飽和するかしないかが変わるか。震源の継続時間が、尺度の観測周期を超えるかどうかである。

観察 6.2　$M_w$ だけが飽和しない理由が、これで分かる。$M_w$ はどの周期の波も見ていない。見ているのは $M_0$ そのものであり、比べるべき周期を持たない。

検算 6.3：「マグニチュード」という一語が覆う幅を測る。

観察 6.4　同じ一語が $\mathbf{1.78\times10^{17}}$ 倍を覆っている。これだけの幅を一本の尺度で測るのは無理であり、四つに分かれているのは自然なことである。問題は分かれていることではなく、どれで測ったかを言わないことである。

観察 6.5　論文117 は、地震の個数と大きさの間に冪則があることを扱った。本稿は大きさを測る道具の側を扱う。同じ地震を材料にして、問いが直交している。

7. 点呼と結び

1. $M$ が $1$ で $31.6228$ 倍（観察1.2）：$2$ で $1000$ 倍ちょうど。
2. 四つの尺度の観測周期（検算2.1）：$0.1$／$1$／$20$ 秒／選ばない。
3. $m_b$ は $5623$ 分の一（検算3.1）：東北を中規模だと言う。
4. $M_S$ でも $7.9433$ 倍（検算3.1）：差 $0.6$ の正体。
5. 四つの巨大地震で同じ（検算3.4）：ただし単調ではない。
6. 小さい地震では $1.4125$ 倍（検算4.1）：範囲の内側なら壊れない。
7. 較正では消えない（観察4.3）：構成に由来する。
8. 破壊 $150$ 秒 対 周期 $20$ 秒（検算5.1）：比 $7.5$。
9. 模型は $1.7501$、実測は $0.60$（検算5.3）：上限を与えるのみ。
10. 一語が $1.78\times10^{17}$ 倍を覆う（検算6.3）：$M=-2$ から $9.5$ まで。

結び：大地震でマグニチュードが頭打ちになるのは、地震が頭打ちになっているのではない。$2011$ 年東北地震を $m_b$ で測ると $6.5$、すなわちエネルギーを $\mathbf{5623}$ 分の一に見積もる。同じ地震を、$m_b$ は中規模だと言い、$M_w$ は史上第四位だと言う。$M_S$ でも $\mathbf{7.9433}$ 倍足りない。差は $0.6$ にすぎないが、対数目盛りの上の $0.6$ だからである。そして小さい地震では起きない。$1995$ 年兵庫県南部では $1.4125$ 倍にとどまる。尺度は壊れているのではなく、範囲の外で使われている。原因は破壊の継続時間である。東北の破壊は $\mathbf{150}$ 秒続き、$M_S$ の見る $20$ 秒の $\mathbf{7.5}$ 倍だった。$20$ 秒の波は、$150$ 秒の出来事の一部しか運ばない。分けるものは一つ、震源の継続時間が、その尺度の観測周期を超えているかどうか。超えていれば、どんなに較正しても飽和は消えない。超えていなければ、四つの尺度はよく一致する。$M_w$ だけが飽和しないのは優れているからではなく、比べるべき周期を持たないからである。

参考文献

1. Kanamori, H. (1977). The Energy Release in Great Earthquakes. Journal of Geophysical Research, 82(20).
2. Hanks, T. C. and Kanamori, H. (1979). A Moment Magnitude Scale. Journal of Geophysical Research, 84(B5).
3. Aki, K. (1967). Scaling Law of Seismic Spectrum. Journal of Geophysical Research, 72(4).
4. Brune, J. N. (1970). Tectonic Stress and the Spectra of Seismic Shear Waves from Earthquakes. Journal of Geophysical Research, 75(26).
5. Gutenberg, B. and Richter, C. F. (1956). Magnitude and Energy of Earthquakes. Annali di Geofisica, 9.
6. Lay, T. and Wallace, T. C. (1995). Modern Global Seismology. San Diego: Academic Press.
7. Ide, S., Baltay, A. and Beroza, G. C. (2011). Shallow Dynamic Overshoot and Energetic Deep Rupture in the 2011 Mw 9.0 Tohoku-Oki Earthquake. Science, 332(6036).
8. 山岸勇輝 (2026). スケール不変性は、四通りに指数を選ぶ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
9. 山岸勇輝 (2026). 対称性は比を決め、力学は尺度を決める [論文140]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081997
10. 山岸勇輝 (2026). 「稀」は、対数の目盛りで測る [論文190]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22106182
11. 山岸勇輝 (2026). 「精度」は二つあり、較正で消えるのは一方だけ [論文255]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22168883

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「飽和するのは地震ではなく、尺度である」［論文282］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22171087

@misc{yamagishi2026yoi282,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Saturates Is Not the Earthquake but the Scale},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/282},
  doi = {10.5281/zenodo.22171087},
  note = {Preprint, edition 1}
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