Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

「紙は $7$ 回しか折れない、厚くなりすぎるから」と説明される。本稿が示すのは厚さは効いていないことである。止めているのは長さで、しかも桁が違う。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、厚さは $t 2^{n}$ で増え、必要な長さは $(\pi t/6)(2^{n}+4)(2^{n}-1)$ で増える（第1節）。

第二に、$12$ 回では厚さが $\mathbf{0.4096}$ m しかないのに、長さは $\mathbf{879.0962}$ m 要る（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。長さと厚さの比が $n$ とともに $2^{n}$ で開く。$7$ 回で $68.6$ 倍、$13$ 回で $\mathbf{4290.9}$ 倍（第2節）。

第四に、A4 の長辺 $0.297$ m で折れるのは $\mathbf{6}$ 回である。$7$ 回には $0.8778$ m 要る（第3節）。

第五に、厚さだけを見れば $\mathbf{42}$ 回で月に届く。厚さは制約になっていない（第3節）。

第六に、分離子は「畳むのに要る余りを勘定するか、しないか」である（第5節）。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。一方向折りの長さの式（ギャリヴァン 2002）は既知である。折り紙を作らない。交互方向の折りや、実際の折り技術には立ち入らない。一方向折りだけを計算する。材料を扱わない。紙の剛性・破断・繊維方向は主題ではない。幾何だけを見る。記録を主張しない。何回折れたかの記録の当否は主題ではない。厚さが一定と置いている。折り目で紙が潰れる分は無視する。無視した分は必要な長さを減らす向きに働く。面積を扱わない。交互折りでは長さと幅の両方が効くが、本稿は一方向だけを見る。既刊との関係：論文386 は溶解度を動かさずに速さが $1000$ 倍動くことを示した。ここでは厚さを動かさずに長さが桁で効く。論文362 は石を持ち上げるのが律速でないことを示した。ここでは厚さが律速ではない。論文384 は自由空間損失が損失でないことを示した。どちらも、名前のついているほうが効いていない。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。厚さと長さは、その基準で別根である。加えたのは、六つの回数で厚さと長さを数に出したこと、比が $2^{n}$ で開くことを示したこと、A4 で $6$ 回という境目を両側から確かめたこと、厚さだけなら $42$ 回で月に届くことを出したこと、分離子を「余りを勘定するか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：厚さ $t$ の帯を、同じ向きに $n$ 回折る。折るたびに、折り目の外側に紙を回すぶんの余りが要る。

$$\text{厚さ}=t\,2^{n},\qquad
L_{\min}(n)=\frac{\pi t}{6}\left(2^{n}+4\right)\left(2^{n}-1\right)$$

$t=0.1$ mm（コピー用紙）で計算する。

観察 1.1　左の式は $2^{n}$、右の式は $4^{n}$ である。$(2^{n}+4)(2^{n}-1)$ の主要項が $2^{n}\cdot2^{n}$、増え方の指数が違う。

観察 1.2　指数が違えば、大きい $n$ ではどちらが効くかが決まる。比は $2^{n}$ で開く。「厚くて折れない」と「長さが足りない」は、同時に効くのではない。

観察 1.3　余りが要るのは、折り目が半円だからである。内側の層が回りこむぶん、層が $2^{n}$ 枚あり、各層が $2^{n}$ に比例する半径を回る。

問い：紙が折れなくなるのは、何が足りないからか。

2. 比は $68.6$ 倍から $4290.9$ 倍へ開く

計算 2.1：$t=0.1$ mm のときの厚さと必要長（本稿で計算）。

観察 2.2　これが本稿の芯である。$12$ 回のところで、厚さは $0.4096$ m しかない。子供でも扱える厚さである。同じ行の必要長は $879.0962$ m で、比が $2146.2$ 倍。

観察 2.3　右端の列が $n$ ごとにほぼ倍になっている。$68.6\to135.6\to269.6\to537.7$、$4^{n}/2^{n}=2^{n}$ だから、比そのものが指数で開く。

観察 2.4　$13$ 回では $3.5$ km 要る。厚さは $0.8192$ m、厚さは人の背丈にも届かないのに、長さは町を横切る。

観察 2.5　どの行でも、長さのほうが先に尽きる。$n=7$ ですでに $68.6$ 倍、どこかで逆転するのではなく、最初から長さが効いている。

3. A4 で折れるのは $6$ 回。厚さだけなら $42$ 回で月に届く

計算 3.1：境目（本稿で計算）。

観察 3.2　境目を両側から挟んだ。$6$ 回は $0.2243$ m で足り、$7$ 回は $0.8778$ m で足りない。A4 一枚を一方向に折れるのは $6$ 回である。

観察 3.3　通説の「$7$ 回」は、一方向折りではもう一回少ない。交互に折れば幅も使えるので回数が増える。「$7$ 回」は折り方の話であって、厚さの話ではない。

観察 3.4　厚さだけを見れば $42$ 回で月に届く。$0.1$ mm $\times 2^{42}=4.3980\times10^{8}$ m、よく知られたこの計算は、実は「厚さは制約になっていない」ことの証拠でもある。

観察 3.5　同じ $42$ 回に要る長さは、宇宙より長い。$4^{42}$ の側、どちらが先に破れるかを比べれば、比べるまでもない。

4. 半円が、長さを食っている

観察 4.1　折り目は角ではなく半円である。内側の層をぐるりと回す。その円周が長さを食う。

観察 4.2　層の数が $2^{n}$、回る半径も $2^{n}$ に比例する。積が $4^{n}$、「二つとも指数で増える」ことが、$4^{n}$ の正体である。

観察 4.3　厚さの側には、この掛け算が無い。層の数だけ、だから $2^{n}$ で止まる。

観察 4.4　論文300 の基準で別根である。厚さは層の数が、長さは層の数と半径の積が決める。同じ「折れなくなる」という結果に、根の違う二つが並んでいる。

観察 4.5　薄くしても比は変わらない。$t$ は両方に一次で入る。どんなに薄い紙を使っても、長さ／厚さの比は $t$ に依らない。

5. 分離子：余りを勘定するか、しないか

観察 5.1　分離子、折り目の半円を数えるか、平らな板が重なるだけと見るか。

観察 5.2　二行の要求が $2146.2$ 倍違う。同じ操作の、同じ回数、見方一つで答が三桁動く。

観察 5.3　平らな板の見方は、厚さがゼロの極限でだけ正しい。$t\to0$ で余りも消える。ところが厚さがゼロなら、そもそも折る回数に上限が無い。

観察 5.4　分離子は動かせる。交互方向に折れば、幅も長さも両方使える。そのとき $4^{n}$ が面積に分散し、回数が増える。

観察 5.5　正直に言えば、$879.0962$ m も $0.8778$ m も、折り目で紙が潰れないと置いた模型の値である。潰れれば必要長は減る。動かないのは、比が $2^{n}$ で開くことと、それが紙の厚さに依らないことである。

観察 5.6　最後に一つ、「厚くなりすぎる」という説明は、正しい量を挙げていながら、効いている量を挙げていない。厚さは確かに $2^{n}$ で増える。増えてはいるが、先に尽きるのは長さである。

6. 点呼と結び

1. 厚さは $2^{n}$、長さは $4^{n}$（第1節）：指数が違う。
2. $12$ 回で厚さ $0.4096$ m（計算 2.1）：子供でも扱える。
3. 同じ $12$ 回に長さ $879.0962$ m（計算 2.1）：比は $2146.2$ 倍。
4. 比は $n$ ごとに倍（観察 2.3）：$68.6\to4290.9$。
5. $13$ 回で $3.5$ km（計算 2.1）：厚さは $0.8192$ m。
6. A4 では $6$ 回（計算 3.1）：$0.2243$ m と $0.8778$ m で挟んだ。
7. 厚さだけなら $42$ 回で月（計算 3.1）：制約になっていない。
8. $4^{n}$ の正体は層数×半径（観察 4.2）：どちらも指数。
9. 比は $t$ に依らない（観察 4.5）：薄くしても変わらない。
10. 分離子は余りを勘定するか（観察 5.1）：見方で三桁動く。

結び：「紙は $7$ 回しか折れない、厚くなりすぎるから」と説明される。だが厚さは効いていない。厚さは $t 2^{n}$ で増え、必要な長さは $(\pi t/6)(2^{n}+4)(2^{n}-1)$ で増える。左は $2^{n}$、右は $4^{n}$ で、増え方の指数が違う。$t=0.1$ mm なら、$12$ 回に必要な厚さは $\mathbf{0.4096}$ m しかなく、子供でも扱える。同じ行の必要長は $\mathbf{879.0962}$ m で、比は $\mathbf{2146.2}$ 倍である。比そのものが指数で開く。$4^{n}/2^{n}=2^{n}$ なので、$68.6\to135.6\to269.6\to537.7$ と $n$ ごとにほぼ倍になり、$13$ 回では $\mathbf{4290.9}$ 倍になる。$13$ 回に要るのは $3.5$ km で、厚さは $0.8192$ m、人の背丈にも届かないのに、長さは町を横切る。どこかで逆転するのではなく、$n=7$ ですでに $68.6$ 倍で、最初から長さが効いている。境目は両側から挟める。A4 の長辺 $0.297$ m に対し、$6$ 回は $0.2243$ m で足り、$7$ 回は $0.8778$ m で足りない。通説の「$7$ 回」は一方向折りではもう一回少なく、交互に折れば幅も使えて回数が増える。つまり「$7$ 回」は折り方の話であって、厚さの話ではない。厚さだけを見れば $\mathbf{42}$ 回で月（$384400$ km）に届くが、この有名な計算はむしろ「厚さは制約になっていない」ことの証拠である。長さを食っているのは折り目の半円である。折り目は角ではなく半円で、内側の層をぐるりと回す。層の数が $2^{n}$、回る半径も $2^{n}$ に比例し、その積が $4^{n}$ になる。厚さの側にはこの掛け算が無く、層の数だけだから $2^{n}$ で止まる。論文300 の基準で別根であり、同じ「折れなくなる」という結果に根の違う二つが並んでいる。しかも $t$ は両方に一次で入るので、どんなに薄い紙を使っても比は変わらない。分けているものは一つ、折り目の半円を数えるか、平らな板が重なるだけと見るか。$12$ 回の要求が $0.4096$ m と $879.0962$ m、同じ操作の同じ回数で、見方一つで答が三桁動く。平らな板の見方は厚さがゼロの極限でだけ正しいが、厚さがゼロならそもそも回数に上限が無い。交互方向に折れば $4^{n}$ が面積に分散し、回数が増える。正直に言えば、$879.0962$ m も $0.8778$ m も折り目で紙が潰れないと置いた模型の値であり、潰れれば必要長は減る。動かないのは、比が $2^{n}$ で開くことと、それが紙の厚さに依らないことである。最後に一つ、「厚くなりすぎる」という説明は、正しい量を挙げていながら、効いている量を挙げていない。厚さは確かに $2^{n}$ で増える。増えてはいるが、先に尽きるのは長さである。

参考文献

1. Gallivan, B. C. (2002). How to Fold Paper in Half Twelve Times: An “Impossible Challenge” Solved and Explained. Pomona: Historical Society of Pomona Valley.
2. Weisstein, E. W. Folding. MathWorld–A Wolfram Web Resource.
3. Demaine, E. D., O’Rourke, J. (2007). Geometric Folding Algorithms. Cambridge: Cambridge University Press.
4. Lang, R. J. (2011). Origami Design Secrets (2nd ed.). Boca Raton: CRC Press.
5. 山岸勇輝 (2026). 『第三百回の点呼、同根か別根かは判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『石を持ち上げるのは、律速ではない』[論文362]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22697498
7. 山岸勇輝 (2026). 『「自由空間損失」は損失ではない。真空は何も吸収していない』[論文384]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699073
8. 山岸勇輝 (2026). 『溶解度は一つも動いていないのに、溶ける速さが 1000 倍になる』[論文386]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699119

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「紙が折れなくなるのは厚いからではない」［論文389］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22699183

@misc{yamagishi2026yoi389,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Paper Stops Folding Not Because It Gets Thick, but Because It Runs Out of Length},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/389},
  doi = {10.5281/zenodo.22699183},
  note = {Preprint, edition 1}
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