Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

各自が自分にとって最善を選べば、全体もよくなると思われている。本稿が示すのは、そうならない場合があることである。誰も間違えていないのに、合計が最小のところへ落ち着く。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、相手が協調なら裏切りが $5$ 対 $3$ で得である（第2節）。

第二に、相手が裏切りでも裏切りが $1$ 対 $0$ で得である。どちらの場合も裏切りが得＝支配戦略である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。落ち着く先の合計は $\mathbf{2}$ で、三つの組のうち最小である（第3節）。

第四に、協調どうしの合計 $\mathbf{6}$ とは、ちょうど $\mathbf{3}$ 倍の開きがある（第3節）。

第五に、$2R>T+S$ が成り立っているので、協調どうしが合計で最大である（第2節）。

第六に、分離子は「一人ずつ見るか、二人まとめて見るか」である（第4節）。

キーワード：囚人のジレンマ、ゲーム理論、支配戦略、ナッシュ均衡、パレート効率。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。囚人のジレンマ、支配戦略、ナッシュ均衡、パレート効率はすべて既知である（$1950$ 年以来）。定理を証明しない。均衡の存在も一意性も証明しない。一つの利得表に数を入れるだけである。繰り返しを扱わない。何度も繰り返す場合には協調が保てることが知られている。本稿は一回限りの場合だけを扱う。現実の場面に当てはめない。軍拡、環境、価格競争などへの適用は主題ではない。道徳を論じない。裏切りが悪いとも、協調が善いとも言わない。利得表の数だけを見る。利得の値を主張しない。$5$・$3$・$1$・$0$ は説明のための代表値であり、順序 $T>R>P>S$ と $2R>T+S$ を満たす任意の数で結論は同じである。既刊との関係：論文436 は支払額の決め方を変えると正直が最適になることを示した。そこでは規則を変えて誘因を直した。ここでは規則が誘因を悪い側へ揃える。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。「各自の最善」と「全体の最善」は、その基準で別根である。論文435 は各項が一定でも合計が決まらないことを示した。そこでも、部分の性質が全体の性質にならなかった。論文417 は段数の上限が生き物の都合でないことを示した。ここでも、当事者の性質ではなく構造が結果を決める。加えたのは、四つの利得を並べて支配戦略を数で確かめたこと、三つの組の合計を出したこと、落ち着く先が合計最小であることを示したこと、協調どうしとの比を $3$ 倍と出したこと、$T$ を下げると支配戦略でなくなることを境目の反対側に置いたこと、分離子を「一人ずつか、まとめてか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：二人が同時に、協調か裏切りかを選ぶ。利得を次で書く。

囚人のジレンマの条件は $T>R>P>S$ かつ $2R>T+S$ である。 $5>3>1>0$ と $6>5$ で、どちらも満たしている。

観察 1.1　各自が自分にとって最善を選べば、全体もよくなると思われている。めいめいが得を追えば、和も大きくなる。よく語られる考え方である。

観察 1.2　だがそれは、選択が互いに影響しない場合の話である。相手の選択が自分の利得を変えるなら、別の話になる。ここでは変える。

問い：各自が最善を選ぶと、二人はどこへ着くのか。

2. どちらの場合も、裏切りが得である

計算 2.1：相手の選択ごとに、自分の二つの手を比べる。

観察 2.2　相手が何を選んでも、裏切りが得である。$5>3$ かつ $1>0$、これを支配戦略という。

観察 2.3　だから相手の出方を読む必要が無い。読まなくても答が決まる。論文436 の二位価格と同じ形だが、向きが逆である。

計算 2.4：$2R$ と $T+S$ を比べる。

$2R=6>T+S=5$ である。協調どうしが合計で最大である。

観察 2.5　この条件が無ければ、ジレンマにならない。$2R<T+S$ なら、交互に裏切る方が合計は大きい。条件が二つ揃って初めて「全員が協調すべきなのに、誰も協調しない」が成り立つ。

3. 落ち着く先が、合計最小である

計算 3.1：三つの組で合計を出す。

観察 3.2　協調どうしが最大の $\mathbf{6}$ である。全体として最も良い。だがそこには誰も行かない。

観察 3.3　裏切りどうしが最小の $\mathbf{2}$ である。そして各自の最善を追うと、そこへ着く。これが本稿の芯である。

観察 3.4　開きは $\mathbf{3}$ 倍である。$6$ 対 $2$、小さくない差が、誰の誤りもなく生じる。

観察 3.5　誰も間違えていない。二人とも、与えられた状況で最も得な手を選んだ。それぞれの計算は正しい。

観察 3.6　だから「愚かだから」では説明できない。賢いほど確実に $2$ へ行く。賢さが結果を悪くしている。

4. 分離子

分離子：一人ずつ見るか、二人まとめて見るか。

観察 4.1　一人ずつ見れば、裏切りが正しい。相手を固定して比べる。どちらの場合も裏切りが上である。

観察 4.2　二人まとめて見れば、協調が正しい。合計を比べる。$6$ が最大である。

観察 4.3　これは論文300 の基準で別根である。どちらも「最善」と呼ばれる。一方は相手を固定した比較、一方は組全体の比較である。

観察 4.4　そして二つは、同じ表の中で両立しない。どちらかを選ぶしかない。矛盾ではなく、二つの違う問いに二つの違う答が出ているだけである。

計算 4.5：境目の反対側を置く。$T$ を $R$ より小さく、たとえば $2.5$ にする。

$T<R$ となり、相手が協調なら協調が得になる。裏切りは支配戦略でなくなる。

観察 4.6　つまり、裏切りを支配戦略にしているのは $T>R$ という一つの不等式である。人でも文化でもない。利得表の一箇所を動かせば消える。

観察 4.7　正直に言えば、本稿は一回限りの場合だけを扱った。何度も繰り返す場合には協調が保てることが知られている。だから「協調は不可能である」とは言っていない。

観察 4.8　最後に一つ、利得の値そのものは代表値である。$T>R>P>S$ と $2R>T+S$ を満たす任意の数で結論は同じ、効いているのは数ではなく、二つの不等式である。

5. 点呼と結び

1. 相手が協調なら $5>3$（計算 2.1）：裏切りが得。
2. 相手が裏切りでも $1>0$（計算 2.1）：裏切りが得。
3. どちらの場合も裏切り（観察 2.2）：支配戦略。
4. $2R=6>T+S=5$（計算 2.4）：協調どうしが合計最大。
5. 協調・協調の合計は $6$（計算 3.1）：最大。
6. 裏切り・裏切りの合計は $2$（計算 3.1）：最小。
7. そこへ落ち着く（観察 3.3）：本稿の芯。
8. 開きは $3$ 倍（観察 3.4）：誰の誤りもなく。
9. $T$ を $2.5$ にすると支配戦略でなくなる（計算 4.5）：境目の反対側。
10. 分離子は一人ずつか、まとめてか（観察 4.3）：論文300 の基準で別根。

結び：各自が自分にとって最善を選べば全体もよくなる、と思われている。だがそれは選択が互いに影響しない場合の話で、相手の選択が自分の利得を変えるなら別の話になる。各自の最善は、確かに裏切りである。相手が協調なら $5>3$、相手が裏切りでも $1>0$ で、相手が何を選んでも裏切りが得である。これを支配戦略といい、相手の出方を読む必要すら無い。同時に $2R=6>T+S=5$ が成り立っているので、協調どうしが合計で最大である。この条件が無ければジレンマにならず、$2R<T+S$ なら交互に裏切る方が合計は大きい。ところが落ち着く先は、合計最小である。三つの組の合計は、協調・協調が $\mathbf{6}$、協調・裏切りが $5$、裏切り・裏切りが $\mathbf{2}$ で、各自の最善を追うと最小の $2$ へ着く。開きは $\mathbf{3}$ 倍で、小さくない差が誰の誤りもなく生じる。二人とも与えられた状況で最も得な手を選んでおり、それぞれの計算は正しい。だから「愚かだから」では説明できない。賢いほど確実に $2$ へ行き、賢さが結果を悪くしている。分けているものは一つ、一人ずつ見るか、二人まとめて見るか。相手を固定して比べれば裏切りが上であり、合計を比べれば協調が上である。論文300 の基準で別根であり、どちらも「最善」と呼ばれるが、一方は相手を固定した比較、一方は組全体の比較である。二つは同じ表の中で両立しないが、矛盾ではない。二つの違う問いに、二つの違う答が出ているだけである。そして裏切りを支配戦略にしているのは $T>R$ という一つの不等式で、$T$ を $2.5$ に下げれば相手が協調なら協調が得になり、支配戦略でなくなる。人でも文化でもなく、利得表の一箇所である。正直に言えば、本稿は一回限りの場合だけを扱った。何度も繰り返す場合には協調が保てることが知られているので、「協調は不可能である」とは言っていない。最後に一つ、利得の値そのものは代表値である。$T>R>P>S$ と $2R>T+S$ を満たす任意の数で結論は同じで、効いているのは数ではなく二つの不等式である。

参考文献

1. Flood, M. M. (1958). Some Experimental Games. Management Science.
2. Nash, J. F. (1951). Non-Cooperative Games. Annals of Mathematics.
3. Axelrod, R. (1984). The Evolution of Cooperation. New York: Basic Books.
4. Rapoport, A., & Chammah, A. M. (1965). Prisoner’s Dilemma. Ann Arbor: University of Michigan Press.
5. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『食物連鎖の段数に上限があるのは、生き物の都合ではない』[論文417]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699882
7. 山岸勇輝 (2026). 『どの順位でも一定なのに、合計は決まらない』[論文435]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22709070
8. 山岸勇輝 (2026). 『支払う額の決め方を変えるだけで、正直が最適になる』[論文436]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22709288

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「各自が最善を選ぶと、二人とも最悪に着く」［論文437］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22709472

@misc{yamagishi2026yoi437,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Each Choosing Best Lands Both on the Worst},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/437},
  doi = {10.5281/zenodo.22709472},
  note = {Preprint, edition 1}
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