Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

論文111 は光が共形構造までしか決めないこと（十成分のうち九つ）を書き、論文118・119・121・122 は四つの時計、$dt$（座標）、$d\tau$（曲線の汎関数）、$dS$（測度の汎関数）、リッチ・フローの径数、を別の論理型として分けた。本稿は両者を一つの試験にかける。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、残る一成分の正体は密度である。計量は共形類（九成分）と密度（一成分）に分かれる。シュヴァルツシルト計量で確かめると、単位行列式の代表元の行列式は $-1$、密度は $r^2|\sin\theta|$ である（本稿で記号計算）（第2節）。

第二に、共形変換は光円錐を動かさず、固有時を動かす。零ベクトルは任意の $\Omega$ で零のまま、時間的間隔は $\Omega^2$ 倍になる（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。一度の共形変換が、四つの時計を重みで分ける。$dt$ は重み $0$、$d\tau$ は重み $1$、リッチ・フローの径数は重み $2$ である（球面の消滅時刻で確認、$[t]=L^2$ と一致）。論文118 の「論理型が違う」が、ここでは一つの数として読める（第4節）。

第四に、第三の時計は同じ試験で二つに割れる。確率測度のエントロピーは重み $0$、体積を基準に測る微分エントロピーは $d\log\Omega$ だけ「ずれる」。重みですらなく、加法的な非斉次項である（三次元ガウスで確認、$\Omega=10$ で $6.907755$）（第5節）。

第五に、ワイルの定理により、因子は定数に決まる。共形構造（光）と射影構造（自由落下）を両方与えると $\phi$ は定数に強制される。どちらか一方では決まらない（第6節）。そして光が届かない最後の一つは、論文149 で「押し出る側・$|\det|$ を担う側」と書いた当のものである（第7節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。ワイル（1921）、エーレルス＝ピラーニ＝シルト（1972）、リッチ・フロー（ハミルトン1982）、微分エントロピーの座標依存性はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、四つの時計を一つの共形変換にかけて重みで分けたこと、第三の時計がその試験で二つに割れることを示したこと、光が残す一成分が「密度」であり論文149 の分類でいう押し出る側だと書いたことだけである。計量が実在するとも、共形構造が本質だとも主張しない。

1. 記法と位置づけ

計量を $g$、共形変換を $g\mapsto\Omega^2g$、$\Omega=e^{\phi}$ と書く。$d$ を空間時間の次元とする。

位置づけ：論文148 は「点」の別根を試験対象で分け、論文149 は運搬の向きで分けた。本稿は同じ道具を体系自身の四つの時計に当てる。そして光が測れないものに名前を与える。

2. 計量は、共形類と密度に分かれる

観察 2.1　対称二階テンソルの成分は $d(d+1)/2$ である。行列式を $1$ に規格化した代表元は $d(d+1)/2-1$ 成分をもち、残る一つが密度である。

検算 2.2：シュヴァルツシルト計量で本稿の記号計算は
$\det g=-r^4\sin^2\theta$、$\hat g=|\det g|^{-1/4}g$ に対し $\det\hat g=-1$、密度は $|\det g|^{1/2}=r^2|\sin\theta|$ を与える。（証明終）

観察 2.3　四次元では $10=9+1$ である。光が決めるのは前者であり、後者は決めない（論文111）。

3. 共形変換は光円錐を動かさず、固有時を動かす

検算 3.1

（証明終） 零は任意の $\Omega$ で零のままである。光円錐は共形不変であり、だから光は共形構造しか報せない。

4. 一度の共形変換が、四つの時計を重みで分ける

検算 4.1：直線状の時間的世界線に沿う固有時は、本稿の計算で
$d\tau/d\lambda=\sqrt3/2$ が $\Omega^2g$ では $\sqrt3\,\Omega/2$ になる。重みは $1$ である。（証明終）

検算 4.2：半径 $r_0$ の丸い $n$ 球面上のリッチ・フロー $g(t)=(1-2(n-1)t/r_0^2)\,g_0$ の消滅時刻は
$t_*=r_0^2/(2(n-1))$ であり、$r_0\mapsto\Omega r_0$ とすると $t_*\mapsto\Omega^2 r_0^2/(2(n-1))$ になる。重みは $2$ である。（証明終）

観察 4.3 （これが本稿の芯である）　

論文118 は四つを「論理型が違う」と分けた。ここでは一度の変換を当てるだけで、その違いが一つの数として現れる。そして重みを決めているのは「何の上の関数か」、すなわち論文148 のいう試験対象である。

観察 4.4　重み $2$ は $[t]=L^2$（論文119）と一致する。別々に得た二つの事実が同じ数を指している。

5. 第三の時計は、同じ試験で二つに割れる

検算 5.1：三次元ガウス測度の微分エントロピーを、$x\mapsto\Omega x$ の前後で比べると

一方、同じ情報を有限集合上の確率として読んだシャノン・エントロピーは $1.207974$ ナットであり、空間を伸縮しても動かない。（証明終）

観察 5.2　「$dS$」は二つの量である。確率測度のエントロピーは重み $0$。体積を基準に測る微分エントロピーは重みを持たず、$d\log\Omega$ だけ加法的にずれる。

観察 5.3 （なぜ割れるのか）　微分エントロピーは測度だけの関数ではなく、測度と体積要素の比の関数だからである。体積要素は第2節の密度であり、共形変換が動かすのはまさにそれである。分離子は、基準を外から持ち込んでいるかどうかである。

6. ワイル：共形と射影を両方与えると、因子は定数になる

事実 6.1：$g\mapsto e^{2\phi}g$ で接続は
$\delta\Gamma^a{}_{bc}=\delta^a{}_b\phi_c+\delta^a{}_c\phi_b-g_{bc}g^{ad}\phi_d$ だけ変わる。
二つの接続が径数を無視した測地線を共有するのは
$\delta\Gamma^a{}_{bc}=\delta^a{}_b\omega_c+\delta^a{}_c\omega_b$ と書けるときに限る。

検算 6.2：$a$ と $b$ を縮約すると左辺は $d\,\phi_c$、右辺は $(d+1)\omega_c$ ゆえ $\omega_c=d\,\phi_c/(d+1)$ である。ここで平坦計量と $\phi=\phi(x^1)$ を取り、$a=1,\ b=c=2$ の成分を見ると

すなわち一致するのは $\phi_1=0$ のとき、つまり因子が定数のときだけである。（証明終）

観察 6.3　光（共形構造）と自由落下（射影構造）を両方与えて、計量は定数倍を除いて決まる（ワイル1921、エーレルス＝ピラーニ＝シルト1972）。どちらか一方では決まらない。論文111 の「光は九つまで」に、もう一本の脚が加わる。

7. 光が残す一つの数は、密度である

観察 7.1　正の定数 $k$ に対し $g$ と $k^2g$ は同じ光円錐と同じ測地線をもち、固有時は $k$ 倍、四次元の体積は $k^4$ 倍になる（本稿で確認）。

観察 7.2 （点呼）　

観察 7.3 （これが結び目である）　光が届かない最後の一成分は、論文149 が「押し出る側・$|\det|$ を担う側」と書いた当のものである。光は引き戻る量しか報せない。体積の基準は、外から持ち込むしかない。そして第5節で微分エントロピーがずれた理由も、同じこれである。

観察 7.4 （射程）　以上は「計量が実在するか」には触れない。どの観測がどの構造を決めるか、という勘定だけである（論文95）。

8. 結論

1. 計量は共形類と密度に分かれる（検算2.2）。四次元で $10=9+1$。
2. 共形変換は光円錐を動かさず、固有時を動かす（検算3.1）。
3. 一度の共形変換が四つの時計を重みで分ける（観察4.3）：$0$／$1$／第5節／$2$。重みを決めるのは「何の上の関数か」である。
4. 第三の時計は二つに割れる（検算5.1）：確率測度のエントロピーは重み $0$、微分エントロピーは $d\log\Omega$ だけずれる。
5. 共形と射影を両方与えて因子は定数になる（検算6.2）。どちらか一方では決まらない。
6. 光が残す一つは密度であり、押し出る側の量である（観察7.2、論文149）。

結び：光は、引き戻せるものしか報せない。共形構造は引き戻り、密度は押し出る。だから光でいくら測っても、体積の基準は出てこない。四つの時計が一度の変換で $0,1,2$ に分かれ、そのうち一つが二つに割れたのは、どれが基準を外から持ち込んでいるかが違うからである。時計とは、外から持ち込んだ基準の名前であった。

参考文献

1. Weyl, H. (1921). Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven und der konformen Auffassung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
2. Ehlers, J., Pirani, F. A. E. & Schild, A. (1972). The geometry of free fall and light propagation. In: General Relativity (ed. L. O’Raifeartaigh), Clarendon Press.
3. Penrose, R. (1965). Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour. Proceedings of the Royal Society A, 284.
4. Hamilton, R. S. (1982). Three-manifolds with positive Ricci curvature. Journal of Differential Geometry, 17.
5. Perelman, G. (2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math/0211159.
6. Cover, T. M. & Thomas, J. A. (2006). Elements of Information Theory, 2nd ed. Wiley.
7. 山岸勇輝 (2026). 別根と言うのは半分である。住所を書け [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
8. 山岸勇輝 (2026). 規約と事実 [論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
9. 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
10. 山岸勇輝 (2026). 光と共形構造 [論文111]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21961685
11. 山岸勇輝 (2026). $c$ の指数が数えているもの [論文116]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22003794
12. 山岸勇輝 (2026). 二つの時計、一つの尺度 [論文118]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22036237
13. 山岸勇輝 (2026). 第四の時計 [論文119]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22036353
14. 山岸勇輝 (2026). 道具の計量 [論文121]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22038594
15. 山岸勇輝 (2026). 時計と次元 [論文122]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22054748
16. 山岸勇輝 (2026). $\varepsilon^2=0$ は環の定義であり、$(dW)^2=dt$ は道の事実である [論文148]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083237
17. 山岸勇輝 (2026). 分母を決めるのは行列式ではなく、最大不変因子である [論文149]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083590

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「光が測れないのは、密度である」［論文150］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22083989

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
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