Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

マインスイーパでは、最初の一手で地雷を踏まないように、押したますを安全にする約束や、その周りまで安全にする約束がある。本稿は、初級・中級・上級の三つの盤で二つの約束を置き、角・辺の中・真ん中を押したときに 0 が出る確率を式と乱数で出し、最初に開くますの数を比べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、押したますだけ安全なら、0 が出やすいのは角で、真ん中は出にくい。0 が出る確率は初級で角 $0.666261$・辺の中 $0.503453$・真ん中 $0.325669$、上級で $0.498463$・$0.312508$・$\mathbf{0.154487}$ で、乱数 $3000$ 回の割合は式と標準誤差の $3$ 倍以内で合った（第2節）。

第二に、押したますだけ安全なら、角のほうが広く開く盤がある。最初に開くますの平均は、初級で角 $19.068$・真ん中 $16.398$（差は標準誤差の $4.93$ 倍）、上級で角 $8.161$・真ん中 $6.979$（$3.01$ 倍）だった。中級は角 $16.339$・真ん中 $17.616$ で、差は標準誤差の $1.72$ 倍にとどまり、順は見分けられなかった（第3節）。

第三に、周りの 8 ますまで安全なら、真ん中が最も広く開く。押したますは必ず 0 になり、開くますの平均は初級で角 $27.788$・真ん中 $46.034$、中級で $26.690$・$63.884$、上級で $15.436$・$39.550$ で、真ん中は角の $1.656622$・$2.393526$・$\mathbf{2.562159}$ 倍だった（第3節）。

第四に、周りまで安全なら、真ん中を押せばたいてい大きく開く。$20$ ます以上開いた割合は、初級の真ん中で $\mathbf{0.968667}$（角 $0.584333$）、上級の真ん中で $0.777333$（角 $0.256000$）だった（第3節）。

第五に、分離子は、安全が保証される範囲が押したます一つか、周りを含む 9 ますかである。一つだけなら押したますの隣に地雷が入りうるので、隣の少ない角が 0 を出しやすい。9 ますなら 0 は保証され、隣の多い真ん中ほど開く口が多い（第4節）。

キーワード：マインスイーパ、最初の一手、地雷の密度、組合せの確率、乱数の試行、盤の角。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。マインスイーパの規則、最初の一手を安全にする約束が遊びの版によって違うこと、角が 0 を出しやすいという言い伝えは、いずれも知られている。0 が出る確率の式は数え上げの初歩である。置いた盤である。初級 $9\times9$・$10$ 個、中級 $16\times16$・$40$ 個、上級 $16\times30$・$99$ 個の三つだけで、地雷は約束が許すますにでたらめに置いた。勝つ確率を扱わない。二手目からの読み方、勝つまでの確率、時間は扱わない。数えるのは最初の一手で開く広さだけである。実在の版を主張しない。どのゲームがどちらの約束を使っているかは述べない。既刊との関係：論文924 の射程注記は、必勝法を論じず、どこを開けるべきか、最初の一手を安全にする規則、確率の表は扱わないと書いた。本稿はそのうち最初の一手を安全にする規則の席に座り、どこを開けるべきかには最初の一手に限って入る（先客なし）。論文924 は、五分五分が見えている数字だけでは決まらず、盤に残る地雷の密度で傾くことを示した。ここでは、最初の一手の約束がその密度の置き方を変え、開く広さを変えることを数える。加えたのは、二つの約束・三つの盤・三つの場所で 0 が出る確率を式と乱数で出したこと、開くますの平均を標準誤差つきで比べたこと、真ん中と角の比を出したこと、分離子を「安全が保証される範囲」に置いたことである。

1. 記法と問い

盤：初級 $9\times9$・地雷 $10$ 個、中級 $16\times16$・$40$ 個、上級 $16\times30$・$99$ 個。約束なしで最初に地雷を踏む確率は $0.123457$・$0.156250$・$0.206250$ である。

約束：①押したますだけ安全（地雷は残りのますにでたらめに置く）。②押したますと周りの 8 ますが安全（端では盤の中にあるぶんだけ）。

押す場所と開き方：角・辺の中（一行目の真ん中）・真ん中を押す。押したますの数字が $0$ なら、縦横斜めにつながる $0$ のますとその周りが一度に開く。$0$ でなければ一ますだけ開く。

式：約束①で、盤のます $N$、地雷 $M$、押したますの隣 $k$（角 $3$・辺 $5$・真ん中 $8$）のとき、$0$ が出る確率は次のとおりである。

$$P_0=\frac{\binom{N-1-k}{M}}{\binom{N-1}{M}}$$

約束②では $P_0=1$。約束と押す場所の組ごとに乱数で $3000$ 回盤を作って確かめた。

問い：最初の一手の約束によって、どこを押すと広く開くかは変わるか。

2. 0 が出る確率

計算 2.1：約束①で $0$ が出る確率（式・括弧は乱数の割合）。

九つとも乱数の割合は式と標準誤差の $3$ 倍以内で合った。約束②では九つとも割合は $1.000000$ だった。

観察 2.2　押したますだけ安全なら、隣の少ない場所ほど 0 が出やすい。三つの盤とも、$0$ が出る確率は角・辺の中・真ん中の順に下がった。真ん中は $8$ つの隣すべてに地雷が無いことが要り、上級では $0.154487$ だった。

3. 最初に開く広さ

計算 3.1：最初に開くますの平均（括弧は標準誤差）と、$20$ ます以上開いた割合。

計算 3.2：角と真ん中の差。

約束②では三つの盤とも、真ん中と角の差は標準誤差の $5$ 倍を超えた（初級 $46.94$ 倍・中級 $49.32$ 倍・上級 $47.25$ 倍）。

観察 3.3　約束で、広く開く場所が入れ替わる。約束①では、$0$ の出やすい角が初級と上級で真ん中より広く開いた。中級は差が標準誤差の $1.72$ 倍で、順は見分けられなかった。約束②では三つの盤とも真ん中が最も広く、角の $1.656622$ から $2.562159$ 倍開いた。初級で真ん中を押すと $0.968667$ の割合で $20$ ます以上開いた。

4. 分離子

観察 4.1　分離子は、安全が保証される範囲が押したます一つか、周りを含む 9 ますかである。範囲が一つなら、押したますの隣に地雷が入りうるので、$0$ が出るかどうかが先に効き、隣の少ない角が得をしやすい。範囲が $9$ ますなら $0$ は保証され、どれだけ広がるかだけが残り、隣の多い真ん中ほど開いた。同じ盤でも、約束が変わると押すべき場所の答が変わる。

観察 4.2　言わないこと。二手目からの読み方、勝つ確率、実在の版の約束、中級で約束①のときの角と真ん中の順は扱わない。示したのは、三つの盤で、最初の一手の約束が $0$ の出やすさと開く広さを変え、広く開く場所を入れ替えることである。

5. 点呼と結び

1. 二つの約束と $0$ が出る確率の式（第1節）：隣の数 $3$・$5$・$8$。
2. 約束①で角が $0$ を出しやすい（計算 2.1）：上級の真ん中は $\mathbf{0.154487}$。
3. 約束①で角が広い盤がある（計算 3.2）：初級・上級、中級は見分けられない。
4. 約束②で真ん中が角の $\mathbf{2.562159}$ 倍まで（計算 3.2）：三つの盤とも真ん中。
5. 初級の真ん中で $20$ ます以上 $\mathbf{0.968667}$（計算 3.1）：たいてい大きく開く。
6. 安全の範囲が一つか 9 つか（観察 4.1）：分離子・論文924 の射程注記。

結び：最初の一手の安全が周りの 8 ますまで及べば真ん中が最も広く開き、押したますだけなら角が勝つ盤もある。押したますだけ安全なら、$0$ が出る確率は三つの盤とも角・辺の中・真ん中の順に下がり、初級と上級では角のほうが広く開いた。周りの 8 ますまで安全なら、押したますは必ず $0$ になり、真ん中は角の $1.656622$ から $2.562159$ 倍開いた。分離子は、安全が保証される範囲が押したます一つか、周りを含む 9 ますかである。既刊との位置：論文924 が脇に置いた最初の一手の約束を数え、盤に残る地雷の置き方が約束で変わり、開く広さの順まで変わることを示した。正直に言えば、勝ち方は言わない。最初の一手で、約束がどこを押すと広く開くかをどう変えるか、そこまでである。

参考文献

1. Kaye, R. (2000). Minesweeper is NP-complete. The Mathematical Intelligencer.
2. 山岸勇輝 (2026). 『マインスイーパの五分五分は見えている数字だけでは決まらず、盤に残る地雷の密度で傾く』[論文924]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/924

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「最初の一手の安全が周りの 8 ますまで及べば真ん中が最も広く開き、押したますだけなら角が勝つ盤もある」［論文950］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/950

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {When the First Click Protects Its Neighbours the Centre Opens Widest; When It Protects Only Itself a Corner Can Do Better},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/950},
  note = {Preprint, edition 1}
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