YOI 1026：離れる時計台の針が止まって見えるのは光の遅れで、相対論はむしろ像を γ 倍だけ速めている

論文1026 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1026 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860181）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1026,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Receding Clock Tower Looks Stopped Because of Light Delay, and Relativity Rather Speeds the Image Up by γ},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1026},
  doi = {10.5281/zenodo.22860181},
  note = {Preprint, edition 3}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月31日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973883・973887・973901 に記録されました（2026年10月31日 06:37（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

アインシュタインが若いころ、時計台から光の速さで離れれば針は止まって見えると考えた、という逸話がある。本稿は、静止した時計から速さ β（光速の割合）で離れる観測者が見る針の像の進みを、古典の二つの式と相対論の式で並べ、β＝1 で止まるのがどの式か、相対論の因子がどちらの向きに効くかを数える。新しい定理も法則も主張せず、逸話の史実性も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。時計台の静止系で分けると、針が止まって見えるのは光の遅れで、相対論の因子はむしろ像を速める。相対論の式 √((1−β)/(1+β)) は (1−β)·γ に等しく（七つの β で 10 の −12 乗以内）、前の因子 1−β は古典の観測者側の式そのもの（光の遅れ）、後の γ は 1 より大きい。β＝0.5 で像の進みは $\mathbf{0.500000}$×$\mathbf{1.154701}$＝$\mathbf{0.577350}$ で、γ を掛けた分だけ古典より速い。観測者の静止系では同じ数が 1/(1+β) と 1/γ の積に分かれ、止める側は 1/γ になる（第2節・第4節）。

第二に、β＝1 で止まるのは三つの式のうち二つである。古典（観測者が動く）は 1−β で 0、相対論も 0、古典（源が動く）は 1/(1+β) で $\mathbf{0.500000}$ にしかならない。光が時計の側で速さ c を持つ式と、観測者の側で持つ式は、光速で離れたとき別の答を出す（第2節）。

第三に、像が半分になる速さは、古典で 0.5、相対論で 0.6 である。二分法で古典（観測者）は β＝$\mathbf{0.500000000000}$、相対論は β＝$\mathbf{0.600000000000}$ だった。相対論の式は二つの古典の式の幾何平均に等しい（七つの β で一致）（第3節）。

第四に、近づくときは向きが分かれる。β＝0.9 で近づく像は古典（観測者）$\mathbf{1.900000}$、古典（源）$\mathbf{10.000000}$、相対論 $\mathbf{4.358899}$ で、β＝1 では古典（観測者）だけが 2 で止まり、残りの二つは発散する。離れる比と近づく比の積は相対論で 1、古典では 1−β² と 1/(1−β²) である（第2節）。

第五に、最接近の瞬間に時計台を出た光の像では、光の遅れが消えて時間の遅れだけが残る。その像の進みは 1/γ で、β＝0.5 で $\mathbf{0.866025}$、β＝0.9 で $\mathbf{0.435890}$ である。最接近の瞬間に観測者へ届く光の像は逆に γ で、β＝0.9 で $\mathbf{2.294157}$ である。離れる像 (1−β)γ・横切る像 1/γ・近づく像 (1+β)γ の三つは、光の遅れの因子だけが違う（第4節）。

第六に、分離子は、止めているのが光の遅れか、時間の遅れか。時計台の静止系では、止めるのは光の遅れの 1−β である。観測者の静止系では、止めるのは時計の遅れの 1/γ で、光の因子は 0.5 までしか下がらない。どちらが止めているかは立つ系で変わり、変わらないのは像の進みの値である（第5節）。

キーワード：ドップラー効果、光の遅れ、時間の遅れ、相対論的ドップラー効果、時計の像、光速

Abstract

There is a story that the young Einstein imagined the hands of a clock tower standing still if one receded from it at the speed of light. This paper lines up the advance of the image of the hands seen by an observer receding at speed β (in units of the speed of light) from a clock at rest, in the two classical formulas and the relativistic one, and counts which of them stop at β = 1 and in which direction the relativistic factor acts. No new theorem or law is claimed, nor the historicity of the story.

First, and this is the core. Split in the rest frame of the tower, the hands look stopped because of light delay, and the relativistic factor rather speeds the image up: the relativistic formula √((1−β)/(1+β)) equals (1−β)·γ (within 10 to the −12 at seven values of β); the first factor 1−β is the classical observer-moving formula itself (light delay), and γ is greater than 1. At β = 0.5 the image advances at $\mathbf{0.500000}$×$\mathbf{1.154701}$ = $\mathbf{0.577350}$, faster than the classical value by the factor γ. In the observer’s rest frame the same number splits into 1/(1+β) and 1/γ, and the stopping side becomes 1/γ (Sections 2 and 4).

Second, at β = 1 two of the three formulas stop: the classical observer-moving formula 1−β gives 0, relativity gives 0, but the classical source-moving formula 1/(1+β) gives only $\mathbf{0.500000}$. The formula in which light has speed c on the clock’s side and the one in which it has speed c on the observer’s side give different answers when one recedes at the speed of light (Section 2).

Third, the image runs at half speed at β = 0.5 classically and at β = 0.6 relativistically: bisection gives β = $\mathbf{0.500000000000}$ for the classical observer-moving formula and β = $\mathbf{0.600000000000}$ for relativity. The relativistic formula equals the geometric mean of the two classical ones at all seven values (Section 3).

Fourth, on approach the directions part: at β = 0.9 the approaching image runs at $\mathbf{1.900000}$ classically with the observer moving, $\mathbf{10.000000}$ with the source moving, and $\mathbf{4.358899}$ relativistically; at β = 1 only the classical observer-moving formula stops, at 2, while the other two diverge. The product of the receding and approaching ratios is 1 in relativity and 1−β² or 1/(1−β²) classically (Section 2).

Fifth, in light that leaves the tower at closest approach the light delay vanishes and only time dilation remains: that image advances at 1/γ, $\mathbf{0.866025}$ at β = 0.5 and $\mathbf{0.435890}$ at β = 0.9. Light that reaches the observer at closest approach shows instead γ, $\mathbf{2.294157}$ at β = 0.9. The receding image (1−β)γ, the crossing image 1/γ and the approaching image (1+β)γ differ only in the light-delay factor (Section 4).

Sixth, the separator is whether what stops the clock is light delay or time dilation: in the rest frame of the tower, what stops it is the 1−β of light delay. In the observer’s rest frame, what stops it is the 1/γ of the clock, and the light factor falls only to 0.5. Which one stops the clock changes with the frame; what does not change is the value of the advance of the image (Section 5).

Keywords: Doppler effect, light delay, time dilation, relativistic Doppler effect, image of a clock, speed of light

版の記録

ここの PDF（倉庫の v3）は第3版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1026/v3/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1026 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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