YOI 1031：「1, 2, 4, 8, 16 の次」は列の中になく、同じ五項で始まる列は 988 本ある

論文1031 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1031 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860459）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1031,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {"The Next Term After 1, 2, 4, 8, 16" Is Not in the Sequence, and 988 Sequences Begin With the Same Five Terms},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1031},
  doi = {10.5281/zenodo.22860459},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ウィトゲンシュタインは『哲学探究』§185 で、「+2」を教わった生徒が 1000 のあとに 1004 と続ける場面を書き、有限の例が規則を一つに決めないことを示した。クリプキはこれを、57 未満では足し算と一致する「quus」で言い直した。本稿は、この問いを数で見る。同じ五項で始まる整数列が辞典に何本あるか、五点に合う「最も単純な」規則が何を返すか、二つの規則が何項まで一致するかを数える。新しい定理も法則も主張せず、規則の意味についての解釈にも入らない。

第一に、これが本稿の芯である。「次の項」は列の中になく、列の外で選ぶ規則の族の中にある。整数列の辞典 OEIS（2026 年 9 月 18 日に検索）で 1,2,4,8 で始まる列は $\mathbf{2742}$ 本、1,2,4,8,16 で始まる列は $\mathbf{988}$ 本あり、そのうち次が 32 の列は $\mathbf{418}$ 本（$\mathbf{0.423077}$）、次が 31 の列は $\mathbf{72}$ 本（$\mathbf{0.072874}$）、それ以外が 498 本である。一項伸ばすごとに残る割合は $\mathbf{0.360321}$・$\mathbf{0.423077}$・$\mathbf{0.614833}$ で、七項でも 257 本が残る（第2節）。

第二に、「最も単純な」規則は二つあり、六項目で分かれる。指数の規則 2 の (n−1) 乗は 32 を返し、五点を通る最も低い次数（4）の多項式は $\mathbf{31.000000}$・$\mathbf{57.000000}$・$\mathbf{99.000000}$ を返す。後者は円周上の n 点を結ぶ弦が円を分ける数（モーザー）C(n,4)+C(n,2)+1 に等しく、点を置いて平面グラフのオイラーの式で数えた値と n＝1〜7 で一致した。二つの規則は n＝5 まで一致し、n＝6 で初めて分かれる（第3節）。

第三に、生徒の規則は 500 項まで正しい。「+2」の規則と「1000 までは +2、そのあと +4」の規則は最初の $\mathbf{500}$ 項で一致し、$\mathbf{501}$ 項目（1002 対 1004）で分かれる。クリプキの quus（両方が 57 未満なら和、そうでなければ 5）と足し算は、0 から 99 の 10000 組のうち 57²＝$\mathbf{3249}$ 組で一致する（第4節）。

第四に、辞典の本数は「単純な」規則にも偏っていない。2,4,6,8 で始まる列は $\mathbf{1568}$ 本、次が 10 の列は $\mathbf{564}$ 本、さらに 12 の列は $\mathbf{393}$ 本で、偶数を並べる規則は辞典の中では多数派ではない（第2節）。

第五に、本体系の三つの編と同じ型である。論文701 はデータを増やすほど罰則つきの規準が複雑なほうを選ぶことを、論文706 はバックテストが試した回数を測ることを、論文317 は有意水準が一回あたりの約束であることを示した。ここでも、列に合う規則の数を数えずに「次の項」を言うことはできない（第5節）。

第六に、分離子は、規則を列から読むか、列を規則から作るか、列から読めば 988 本のどれでもよく、規則から作れば次の項は一つに決まる。「1000 のあと 1004」が誤りなのは列の側ではなく、教えた規則の側で決まる（第5節）。

キーワード：規則遵守、整数列、OEIS、モーザーの円の分割、補間多項式、quus

Abstract

In Philosophical Investigations §185 Wittgenstein describes a pupil taught "+2" who continues 1000 with 1004, showing that finite examples do not fix a rule. Kripke restated this with "quus", which agrees with addition below 57.This paper looks at the question in numbers: how many integer sequences in the encyclopedia begin with the same five terms, what the "simplest" rules fitting five points return, and for how many terms two rules agree.No new theorem or law is claimed, and no interpretation of the meaning of rules is entered.

First, and this is the core. The "next term" is not in the sequence but in a family of rules chosen outside it、in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (searched on 18 September 2026), $\mathbf{2742}$ sequences begin with 1,2,4,8 and $\mathbf{988}$ with 1,2,4,8,16; of these $\mathbf{418}$ continue with 32 ($\mathbf{0.423077}$), $\mathbf{72}$ with 31 ($\mathbf{0.072874}$), and 498 otherwise. The share surviving each added term is $\mathbf{0.360321}$, $\mathbf{0.423077}$ and $\mathbf{0.614833}$, and 257 sequences survive seven terms (Section 2).

Second, there are two "simplest" rules, and they part at the sixth term、the exponential rule 2 to the (n−1) returns 32; the lowest-degree (degree 4) polynomial through the five points returns $\mathbf{31.000000}$, $\mathbf{57.000000}$ and $\mathbf{99.000000}$. The latter equals the number of regions into which the chords among n points on a circle cut it (Moser), C(n,4)+C(n,2)+1, matched for n = 1 to 7 by placing points and counting with Euler’s formula for planar graphs. The two rules agree up to n = 5 and part at n = 6 (Section 3).

Third, the pupil’s rule is right for 500 terms、the rule "+2" and the rule "+2 up to 1000, then +4" agree for the first $\mathbf{500}$ terms and part at the $\mathbf{501}$st (1002 against 1004). Kripke’s quus (the sum if both are below 57, else 5) agrees with addition in 57² = $\mathbf{3249}$ of the 10000 pairs from 0 to 99 (Section 4).

Fourth, the encyclopedia is not biased toward "simple" rules either、$\mathbf{1568}$ sequences begin with 2,4,6,8, $\mathbf{564}$ continue with 10 and $\mathbf{393}$ with 12; the rule of listing even numbers is not the majority in the encyclopedia (Section 2).

Fifth, this is the same pattern as three earlier papers、Paper 701 showed that the more data there is the more a penalised criterion prefers the complicated model, Paper 706 that a backtest measures the number of attempts, and Paper 317 that a significance level is a promise per test. Here too, the "next term" cannot be stated without counting the rules that fit (Section 5).

Sixth, the separator is whether the rule is read from the sequence or the sequence is made from the rule、read from the sequence, any of the 988 will do; made from the rule, the next term is fixed. That "1004 after 1000" is wrong is decided on the side of the rule taught, not of the sequence (Section 5).

Keywords: rule-following, integer sequences, OEIS, Moser's circle problem, interpolating polynomial, quus

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1031/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1031 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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