Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1077 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1077 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1077】二つの「アーノルドの舌」は同じ冪で開き、舌の中の指数の符号だけが逆である

@misc{yamagishi2026yoi1077,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Two Arnold Tongues Open with the Same Power, and Only the Sign of the Exponent Inside Differs},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1077},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969378・969383・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 11:04（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「アーノルドの舌」と呼ばれるものが二つある。一つは、回るものを周期的に蹴ったとき、回る速さが蹴りの有理数倍に引き込まれる範囲（円写像）。もう一つは、振り子の長さを周期的に揺すったとき、揺れが育つ範囲（マシュー方程式・ブランコの立ち漕ぎ）である。どちらも、強さを 0 に近づけると一点にしぼむ舌の形をしている。本稿は、この二つが同じ機構かを数で確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、幅は同じ冪で開く。円写像の p/q の舌の幅は蹴りの強さの q 乗で開き（両対数の傾きは q=1 から 5 で 1.0000 から 4.9804）、マシュー方程式の n 番目の舌の幅は揺すりの強さの n 乗で開く（n=1 から 4 で 0.9996 から 3.9998）。

第二に、冪を決めるのは、必要な高調波が駆動から何次で出るかである。その高調波を駆動に直接入れると、二つとも幅は一次で開く（傾き 1.0447 と 0.9455）。

第三に、これが本稿の芯である。舌の中の指数の符号だけが逆である。どちらの舌の中でも、回転数（マシューではフロケの位相）は 1/2 に固定される。だが円写像のリャプノフ指数は $\mathbf{-0.510826}$ で引き寄せられ、マシュー方程式のフロケ指数は $\mathbf{0.144236}$ で育つ。マシュー方程式は面積を保つ（モノドロミー行列の行列式 1）ので、乗数は育つものと縮むものの対で出る。

第四に、舌の幅の和。蹴りが 0.5 なら、分母 30 までの舌の幅の和は $\mathbf{0.192113}$ で止まる。蹴りが 1 なら、分母を増やすほど和は増え続け、分母 30 で $\mathbf{0.641851}$ である。

第五に、ブランコへ。長さを揺すって漕ぐなら、二倍の振動数で漕ぐ舌（n=1）は、同じ振動数で漕ぐ舌（n=2）より、揺すりの強さ 0.1 で $\mathbf{20.0759}$ 倍広い。

正直に書くと、測り方の誤りを三つ直した。円写像では舌の真ん中が p/q からずれるのに真ん中を決め打ちしていたこと、マシュー方程式では探す範囲が別の不安定域にはみ出していたこと、実測の前に閾値を置いたことである。蹴りが 1 で舌が全部を埋めることは文献の結果で、本稿は分母 30 までで増え続けることを見ただけである。

キーワード：アーノルドの舌、円写像、マシュー方程式、引き込み、パラメトリック励振、悪魔の階段、フロケ指数

Abstract

Two different things are called Arnold tongues.One is the range in which a rotating object kicked periodically is locked to a rational multiple of the kicking frequency (the circle map).The other is the range in which a pendulum whose length is modulated periodically swings with growing amplitude (the Mathieu equation; pumping a swing while standing).Both have the shape of a tongue that shrinks to a point as the strength goes to 0.This paper checks by numbers whether the two are the same mechanism.It claims no new theorem and no new law.

First, the widths open with the same power. The width of the p/q tongue of the circle map opens as the q-th power of the kick (log-log slopes 1.0000 to 4.9804 for q from 1 to 5), and the width of the n-th tongue of the Mathieu equation as the n-th power of the modulation (0.9996 to 3.9998 for n from 1 to 4).

Second, the power is fixed by the order at which the drive produces the needed harmonic. Putting that harmonic directly into the drive makes both widths open at first order (slopes 1.0447 and 0.9455).

Third, and this is the core of the paper, only the sign of the exponent inside the tongue differs. Inside both tongues the rotation number (for the Mathieu equation, the Floquet phase) is pinned at 1/2. But the Lyapunov exponent of the circle map is $\mathbf{-0.510826}$, so nearby points are drawn in, while the Floquet exponent of the Mathieu equation is $\mathbf{0.144236}$, so the swing grows. The Mathieu equation keeps area (the monodromy matrix has determinant 1), so its multipliers come as a pair, one growing and one shrinking.

Fourth, the total width of the tongues. At kick 0.5 the total width of the tongues with denominators up to 30 stops at $\mathbf{0.192113}$. At kick 1 the total keeps growing as the denominator increases and is $\mathbf{0.641851}$ at denominator 30.

Fifth, to the swing. When pumping by modulating the length, the tongue for pumping at twice the frequency (n=1) is $\mathbf{20.0759}$ times wider than the tongue for pumping at the same frequency (n=2), at modulation strength 0.1.

To be candid, three errors in the measurement were corrected: the centre of the circle-map tongue was assumed to sit at p/q although it shifts, the search range for the Mathieu equation spilled into another unstable region, and a threshold was set before measuring. That the tongues fill everything at kick 1 is a result of the literature; this paper only saw the total keep growing up to denominator 30.

Keywords: Arnold tongue, circle map, Mathieu equation, mode locking, parametric excitation, devil’s staircase, Floquet exponent

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1077/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1077 はいつも最新の版を指します）。

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