Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1081 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1081 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1081,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Hard Sphere Has Four Cross Sections, 1, 2, 4 and 8 Times πa², and the 4 Appears Only in Three Dimensions},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1081},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月8日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

半径 a の固い球に何かを当てるとき、的の広さ（断面積）は場面によって四つの値を取る。粒を当てれば πa²、波長の短い波なら 2πa²、波長の長い波なら 4πa²、同じ種類のボース粒子どうしなら 8πa² である。本稿は、この四つを一つの計算（部分波の和）から出し、倍の 2・4・8 がそれぞれどこから来るかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、粒の πa² は、円の面積であると同時に 4π×(a/2)² でもある。鏡のように跳ね返す球は、粒を向きによらず同じ強さで散らす。当たる面積を跳ね返る向きの余弦で 10 に分けると、どの区切りも $\mathbf{0.100000}$ ずつで、立体角あたりの強さは a²/4 にそろう。

第二に、波では、波長と半径の比で値が動く。波数 k と半径 a の積 ka を動かすと、断面積は πa² を単位にして、ka = 0.001 で $\mathbf{3.999999}$、ka = 1 で $\mathbf{3.382438}$、ka = 5000 で $\mathbf{2.006806}$ になる。2 への寄り方は ka の −2/3 乗で、その係数は ka = 1000 で $\mathbf{1.985245}$、ka = 5000 で $\mathbf{1.989941}$ だった。

第三に、長い波長の 4 は、全方向の立体角 4π に a² が掛かったものである。長い波長では、波は向きによらず立体角あたり a² ずつ散る。粒のときの a²/4 の $\mathbf{3.999999}$ 倍で、振幅でいえば 2 倍である。4π×a² は半径 a の球の表面積と同じ数で、球の表面積が大円の 4 倍であること（アルキメデス）が、ここでは 4πa² と πa² の比として出ている。

第四に、短い波長の 2 は、跳ね返りの πa² と影の πa² である。ka = 200 で、後ろ半分へ散る量は πa² の $\mathbf{0.500065}$ 倍、前方を外した向きごとの強さは粒のときの a²/4 の $\mathbf{1.000042}$ 倍から $\mathbf{1.003550}$ 倍で、粒と同じ跳ね返りが残っている。残りは前方の細い山に集まり、真正面の強さは跳ね返りの $\mathbf{42443.168}$ 倍である。この山は、球の後ろに影を作るために要る波で、同じ大きさの円板の回折と同じ形をしている。

第五に、同じ種類の粒の 8 は、半球の立体角 2π に (2a)² が掛かったものである。二つの粒を区別できないと、右へ散った波と左へ散った波を足してから二乗する。長い波長のボース粒子では $\mathbf{7.999997}$、スピンの向きがそろったフェルミ粒子では $2.666663$×10⁻¹² で、区別できる粒の $\mathbf{3.999999}$ とのあいだに中間の値は無い。ka = 1000 では、どちらも区別できる粒の値の 0.1 パーセント以内に戻る。

第六に、これが本稿の芯である。次元を変えると、2 倍は残り、4 は残らない。同じ計算を 2 次元から 6 次元で行うと、短い波長の値はどの次元でも正面から見た面積の 2 倍に寄り（ka = 1000 で $\mathbf{2.009960}$ から $\mathbf{2.049127}$）、長い波長の同じボース粒子はどの次元でも区別できる粒の $\mathbf{2.000000}$ 倍になる。ところが長い波長の値そのものは波数の d−3 乗に比例し、4 次元以上では 0 へ向かい、2 次元では大きくなり続ける。波長によらない数に落ち着くのは 3 次元だけで、その数が球の表面積と同じ数になる。

正直に書くと、検算で一度落ちた。短い波長の次元ごとの値を、測る前に「2.00 から 2.03 のあいだ」と置いていたが、実測は次元とともに上がり、6 次元では 2.049127 だった。外れた所を読むと、2 への寄り方の係数が d−1 にほぼ比例していた（d−1 で割ると $\mathbf{0.497983}$ から $\mathbf{0.491265}$）。

キーワード：散乱断面積、固い球、部分波、影散乱、同種粒子、次元、立体角

Abstract

When something is sent at a hard sphere of radius a, the size of the target (the cross section) takes four values depending on the setting.For point particles it is πa², for a wave of short wavelength 2πa², for a wave of long wavelength 4πa², and for two identical bosons 8πa².This paper obtains all four from one calculation (the partial-wave sum) and counts where each of the factors 2, 4 and 8 comes from.No new theorem or law is claimed.

First, the πa² for particles is the area of a circle and, at the same time, 4π×(a/2)². A sphere that reflects like a mirror scatters particles with the same strength in every direction. When the area that is hit is sorted into ten bins by the cosine of the outgoing direction, every bin receives $\mathbf{0.100000}$, and the strength per solid angle is a²/4 everywhere.

Second, for a wave the value moves with the ratio of wavelength to radius. With k the wavenumber and a the radius, the cross section in units of πa² is $\mathbf{3.999999}$ at ka = 0.001, $\mathbf{3.382438}$ at ka = 1 and $\mathbf{2.006806}$ at ka = 5000. The approach to 2 goes as the −2/3 power of ka, with a coefficient of $\mathbf{1.985245}$ at ka = 1000 and $\mathbf{1.989941}$ at ka = 5000.

Third, the 4 at long wavelength is the full solid angle 4π multiplied by a². At long wavelength the wave is scattered equally in all directions, a² per solid angle. That is $\mathbf{3.999999}$ times the a²/4 of the particle case, a factor of 2 in amplitude. 4π×a² is the same number as the surface area of a sphere of radius a, and the fact that the surface of a sphere is four times its great circle (Archimedes) shows up here as the ratio of 4πa² to πa².

Fourth, the 2 at short wavelength is πa² of reflection plus πa² of shadow. At ka = 200 the amount scattered into the backward half is $\mathbf{0.500065}$ times πa², and away from the forward direction the strength per direction is between $\mathbf{1.000042}$ and $\mathbf{1.003550}$ times the a²/4 of the particle case: the same reflection as for particles is still there. The rest sits in a narrow forward peak whose strength straight ahead is $\mathbf{42443.168}$ times that of the reflection. This peak is the wave needed to make the shadow behind the sphere, and it has the same shape as the diffraction by a disc of the same size.

Fifth, the 8 for identical particles is the solid angle of a hemisphere, 2π, multiplied by (2a)². When the two particles cannot be told apart, the wave scattered to the right and the wave scattered to the left are added before squaring. At long wavelength the result is $\mathbf{7.999997}$ for bosons and $2.666663$×10⁻¹² for fermions with aligned spins, with no intermediate value between these and the $\mathbf{3.999999}$ of distinguishable particles. At ka = 1000 both are back within 0.1 percent of the distinguishable value.

Sixth, and this is the core of the paper: when the dimension is changed, the factors of 2 remain and the 4 does not. Repeating the calculation in two to six dimensions, the short-wavelength value tends to twice the frontal area in every dimension (from $\mathbf{2.009960}$ to $\mathbf{2.049127}$ at ka = 1000), and identical bosons at long wavelength give $\mathbf{2.000000}$ times the distinguishable value in every dimension. But the long-wavelength value itself is proportional to the wavenumber to the power d−3: it goes to 0 in four or more dimensions and keeps growing in two. Only in three dimensions does it settle to a number independent of wavelength, and that number is the same as the surface area of the sphere.

To be candid, one check failed once. Before measuring, the short-wavelength value in each dimension had been set to lie “between 2.00 and 2.03”, but the measured value rises with dimension and was 2.049127 in six dimensions. Reading the failure showed that the coefficient of the approach to 2 is nearly proportional to d−1 (divided by d−1 it runs from $\mathbf{0.497983}$ to $\mathbf{0.491265}$).

Keywords: scattering cross section, hard sphere, partial waves, shadow scattering, identical particles, dimension, solid angle

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1081/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1081 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ