Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1084 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1084 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1084,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {4π Splits into a Longitudinal 4π/3 and a Transverse 8π/3, and the 21 cm Line of Hydrogen Measures the Transverse Part},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1084},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月8日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

物理の式には、4π/3 と 8π/3 がよく出てくる。二つを足すと 4π で、全方向の立体角になる。本稿は、この二つが一つの立体角を縦と横に分けた取り分であることを数え、どの式がどちらを取るか、何がその割れ方を決めているかを見る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、向きを持つ量を全方向に足すと、縦が 1/3、横が 2/3 になる。向きを持つ量 p を、見る向きに沿った成分（縦）と、それに垂直な成分（横）に分けて全方向に足すと、縦は $\mathbf{4.188790205}$、横は $\mathbf{8.377580410}$ で、4π/3 と 8π/3 である。足せば 4π に戻る。

第二に、電気は縦を取る。球の中に正と負の電荷を置き、それが作る電場を球の中で足すと、置き場所にも球の大きさにもよらず −(4π/3)p になる（p は電荷の組の強さと向き）。五つの置き方で、足した値と −(4π/3)p の比はどれも $\mathbf{1.000000000}$ だった。電荷の片方を球の外に出す対照では $\mathbf{0.395312500}$ で、合わない。

第三に、磁気は横を取る。球の中に電流の輪を置き、それが作る磁場を球の中で足すと ＋(8π/3)m になる（m は輪の強さと向き）。四つの置き方で比は $\mathbf{1.000000000}$ だった。電場は高さの勾配のように出るので縦が残り、磁場は渦のように出るので横が残る。符号が逆で、二つの係数の差が 4π である。

第四に、割れ方が 1/3 と 2/3 になるのは、丸いときだけである。一様に磁化した回転楕円体では、中の磁場の取り分は形で変わる。軸の長さが幅の 100 倍の細長い形では縦の取り分が $\mathbf{0.000429899}$、球で $\mathbf{0.333333333}$、軸が幅の 100 分の 1 の平たい形では $\mathbf{0.984489707}$ である。

第五に、これが本稿の芯である。水素の 21 cm 線は、横の 8π/3 を測っている。水素原子の電子は、陽子の位置を丸く包んでいる。電子が感じる陽子の磁場は、球の中で足した ＋(8π/3)m になる。この係数と定数表の値だけで周波数を計算すると $\mathbf{1420.485452}$ MHz で、実測の 1420.405751768 MHz（Hellwig ほか 1970）との相対差は 5.611×10⁻⁵ である。係数を縦の 4π/3 に置き換えると $\mathbf{710.242726}$ MHz、全部の 4π に置き換えると $\mathbf{2130.728178}$ MHz になり、実測から大きく外れる。

第六に、次元を変えると、取り分は 1/d と (d−1)/d になる。2 次元では縦と横が半分ずつで、3 次元で 1/3 と 2/3、4 次元で 1/4 と 3/4 である。誘電体の球を一様な電場に置くと、中の電場は外の d/(ε+d−1) 倍になる。3 次元の式に出る ε+2 の 2 は、d−1 である。

正直に書くと、21 cm 線の残りの差 5.611×10⁻⁵ は、ここで入れていない高次の補正と陽子の大きさによるもので、本稿は説明しない。示せたのは、係数が 1/3 でも 1 でもなく 2/3 であることを、測定が五桁目の手前まで支えていることである。

キーワード：立体角、電気双極子、磁気双極子、反磁場係数、超微細分裂、21 cm 線、次元

Abstract

The numbers 4π/3 and 8π/3 appear often in the formulas of physics.Their sum is 4π, the full solid angle.This paper counts that the two are the longitudinal and transverse shares of one solid angle, and looks at which formula takes which share and what fixes the split.No new theorem or law is claimed.

First, summing a quantity that has a direction over all directions gives 1/3 longitudinally and 2/3 transversely. When a directed quantity p is split into the component along the line of sight (longitudinal) and the component perpendicular to it (transverse) and each is summed over all directions, the longitudinal sum is $\mathbf{4.188790205}$ and the transverse sum $\mathbf{8.377580410}$, that is 4π/3 and 8π/3. Added together they return 4π.

Second, electricity takes the longitudinal share. Place positive and negative charges inside a sphere and sum the electric field they make over the inside of the sphere: the result is −(4π/3)p whatever the placement and whatever the size of the sphere (p being the strength and direction of the set of charges). For five placements the ratio of the summed value to −(4π/3)p was $\mathbf{1.000000000}$ in every case. In a control with one charge moved outside the sphere it was $\mathbf{0.395312500}$, which does not agree.

Third, magnetism takes the transverse share. Place a loop of current inside a sphere and sum the magnetic field it makes over the inside: the result is +(8π/3)m (m being the strength and direction of the loop). For four placements the ratio was $\mathbf{1.000000000}$. The electric field comes out like the slope of a height, so the longitudinal part remains; the magnetic field comes out like a whirl, so the transverse part remains. The signs are opposite, and the difference of the two coefficients is 4π.

Fourth, the split is 1/3 and 2/3 only when the shape is round. For a uniformly magnetised spheroid the share of the field inside changes with the shape. The longitudinal share is $\mathbf{0.000429899}$ for an elongated shape whose axis is 100 times its width, $\mathbf{0.333333333}$ for a sphere, and $\mathbf{0.984489707}$ for a flat shape whose axis is one hundredth of its width.

Fifth, and this is the core of the paper: the 21 cm line of hydrogen measures the transverse 8π/3. The electron of a hydrogen atom surrounds the position of the proton as a round cloud. The magnetic field of the proton felt by the electron is the +(8π/3)m summed inside a sphere. Computing the frequency from this coefficient and the values of the table of constants alone gives $\mathbf{1420.485452}$ MHz, against the measured 1420.405751768 MHz (Hellwig et al. 1970), a relative difference of 5.611×10⁻⁵. Replacing the coefficient by the longitudinal 4π/3 gives $\mathbf{710.242726}$ MHz and by the full 4π gives $\mathbf{2130.728178}$ MHz, far from the measurement.

Sixth, when the dimension is changed the shares become 1/d and (d−1)/d. In two dimensions the longitudinal and transverse shares are a half each; in three they are 1/3 and 2/3, in four 1/4 and 3/4. A dielectric sphere placed in a uniform electric field has an inside field d/(ε+d−1) times the outside one. The 2 in the ε+2 of the three-dimensional formula is d−1.

To be candid, the remaining difference of 5.611×10⁻⁵ in the 21 cm line comes from higher-order corrections and the size of the proton, which are not included here, and this paper does not explain it. What could be shown is that the measurement supports, up to just before the fifth digit, that the coefficient is 2/3 and neither 1/3 nor 1.

Keywords: solid angle, electric dipole, magnetic dipole, demagnetising factor, hyperfine splitting, 21 cm line, dimension

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1084/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1084 はいつも最新の版を指します）。

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