Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1086 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1086 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1086,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The π in the Formulas of Gravity Appears with Density and Vanishes with Mass; What Remains Is the Angle of a Revolution},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1086},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月8日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

重力の式には π がよく出る。宇宙の膨張の式の 8π/3、星がつぶれる時間の式の 3π/32、惑星の公転の式の 4π² などである。本稿は、同じ式を密度で書いた形と質量で書いた形に並べ、π がどこから入り、どう書けば消えるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、球の体積の π は、密度で書くと出て、質量で書くと消える。一様な球についての八つの式（表面の重力、表面すれすれの軌道の角速度と周期、自由落下の時間、脱出の速さ、膨張の式、中心の圧力、重力で縛られたエネルギー）を二通りに書くと、密度の形にはどれも π が入る。質量の形にすると、五つの式から π が無くなる。密度の形の π は、質量を「密度 × (4π/3) × 半径の三乗」と書き直したときに入ったものである。

第二に、質量で書いても残る π は、一周の角である。軌道の周期には 2π が、自由落下の時間には π が残る。自由落下は、半径の半分を長半径とするつぶれた軌道の半周にあたり、落下の時間にその軌道の角速度を掛けるとちょうど π になる。周期を角速度に書き直せば、この π も消える。自由落下の時間を表面すれすれの軌道の周期で割った値は $\mathbf{0.176776695}$ で、π を含まない。

第三に、圧力の π は、面積の π である。中心の圧力だけは、質量で書くと π が分母に現れる。圧力は力を面積で割った量で、球の表面積 4π × 半径の二乗が入るからである。

第四に、太陽で数値にした。太陽の GM と半径だけを使うと、太陽が支えを失ってつぶれるまでの時間は $\mathbf{29.487015}$ 分、表面すれすれを回る軌道の周期は $\mathbf{2.780062}$ 時間である。運動の式を数値で積分した値と、相対差 2.220×10⁻¹⁶ で合った。この計算に、万有引力定数 G を単独で入れる所は無い。

第五に、これが本稿の芯である。太陽の GM は、天文学者の単位で 4π² になる。半径 1 天文単位の円い軌道の周期は $\mathbf{365.2568984}$ 日で、ガウスが 1809 年に定めた定数から決まる 1 年（ガウス年）365.2568983 日と、相対差 1.580×10⁻¹⁰ で合う。長さを天文単位、時間をガウス年で測ると、太陽の GM は 4π² = $\mathbf{39.478418}$ で、ケプラーの第三法則は「周期 = 長半径の 1.5 乗」と π 無しで書ける。365.25 日の 1 年で測ると $\mathbf{39.476926}$ である。本体系の取り方（G = 4π、M = 4π、論文28）では GM = 16π² で、周期は長半径の 1.5 乗の半分になる。

第六に、次元を変えても、質量の形には π が無い。膨張の式を 2 次元から 6 次元で書くと、質量の形はどの次元でも π を含まず、密度の形の π の冪は 1、1、2、2、3 で、球の体積の π の冪と同じである。一周の角 2π は、次元を変えても 2π のままである。

正直に書くと、π が消えることに、意味を読んではいない。消えるのは、球の体積や一周の角を、別の量の中にしまったからである。太陽は一様な球ではないので、平均の密度とトンネルの往復の時間は、一様な球としての値である。

キーワード：万有引力、自由落下の時間、ケプラーの第三法則、ガウス引力定数、単位の選択、密度、次元

Abstract

π appears often in the formulas of gravity.There is the 8π/3 in the equation for the expansion of the universe, the 3π/32 in the time for a star to collapse, the 4π² in the formula for the revolution of a planet.This paper places the same formulas side by side in a form written with density and a form written with mass, and counts where π enters and how it can be written away.No new theorem or law is claimed.

First, the π of the volume of a ball appears when one writes with density and vanishes when one writes with mass. Eight formulas for a uniform sphere (surface gravity, the angular speed and the period of a grazing orbit, the free-fall time, the escape speed, the expansion equation, the central pressure, the gravitational binding energy) were written in both ways. In the density form every one contains π. In the mass form π disappears from five of them. The π of the density form entered when the mass was rewritten as “density × (4π/3) × radius cubed”.

Second, the π that remains in the mass form is the angle of a revolution. A 2π remains in the period of an orbit and a π in the free-fall time. Free fall is half a revolution of a degenerate orbit whose semi-major axis is half the radius; the free-fall time multiplied by the angular speed of that orbit is exactly π. Rewriting the period as an angular speed removes this π as well. The free-fall time divided by the period of the grazing orbit is $\mathbf{0.176776695}$, which contains no π.

Third, the π of pressure is the π of an area. Only the central pressure shows a π in the denominator when written with mass. Pressure is force divided by area, and the surface area of the sphere, 4π times the radius squared, enters.

Fourth, numbers for the Sun. Using only the GM and the radius of the Sun, the time for the Sun to collapse if it lost its support is $\mathbf{29.487015}$ minutes, and the period of an orbit grazing its surface is $\mathbf{2.780062}$ hours. The value agreed with a numerical integration of the equation of motion to a relative difference of 2.220×10⁻¹⁶. Nowhere in this calculation does the gravitational constant G enter by itself.

Fifth, and this is the core of the paper: the GM of the Sun is 4π² in the astronomers’ units. The period of a circular orbit of radius 1 astronomical unit is $\mathbf{365.2568984}$ days, which agrees to a relative difference of 1.580×10⁻¹⁰ with the year fixed by the constant Gauss defined in 1809 (the Gaussian year), 365.2568983 days. Measuring length in astronomical units and time in Gaussian years, the GM of the Sun is 4π² = $\mathbf{39.478418}$, and Kepler’s third law reads “period = semi-major axis to the power 1.5” with no π. Measured with a year of 365.25 days it is $\mathbf{39.476926}$. In the choice used in this corpus (G = 4π, M = 4π, Paper 28), GM = 16π² and the period is half the semi-major axis to the power 1.5.

Sixth, the mass form has no π in any dimension. Writing the expansion equation in two to six dimensions, the mass form contains no π in any of them, and the power of π in the density form is 1, 1, 2, 2, 3, the same as the power of π in the volume of the unit ball. The angle 2π of a revolution remains 2π whatever the dimension.

To be candid, no meaning is read into the disappearance of π. It disappears because the volume of a ball, or the angle of a revolution, has been stored inside another quantity. The Sun is not a uniform sphere, so its mean density and the time for the passage through a tunnel are the values for a uniform sphere.

Keywords: gravitation, free-fall time, Kepler’s third law, Gaussian gravitational constant, choice of unit, density, dimension

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1086/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1086 はいつも最新の版を指します）。

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