Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1087 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1087 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1087,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 1/2 of Spin Is One Turn of Phase, 2π, Divided by the Full Solid Angle, 4π},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1087},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月8日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

電子のスピンは 1/2 である。なぜ 1/3 や 0.3 ではなく 1/2 なのか。本稿は、スピンを持つ状態の向きを球面の上で動かしたときに付く位相を数え、1/2 が「位相の一回りの 2π」と「球面全体の立体角 4π」の比として出ることを確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、向きを一周させると、位相は s×（囲んだ立体角）だけ動く。スピン s が 1/2、1、3/2、2 の状態を、球面の上の三角形に沿って一周させた。立体角が 5.636735 の三角形では、位相は順に $\mathbf{-2.818368}$、$\mathbf{+0.646450}$、$\mathbf{-2.171918}$、$\mathbf{+1.292900}$ で、どれも −s×立体角を 2π で折った値と一致した。四つの三角形と四つのスピンで、外れは最大 5.151×10⁻¹⁴ だった。

第二に、これが本稿の芯である。同じ道の位相が一つに決まるには、s×4π が 2π の整数倍でなければならない。球面の上の閉じた道は、北側の面を囲むとも、南側の面を囲むとも言える。二つの面の立体角は合わせて 4π で、二通りに数えた位相の比は、s×4π だけ回した因子になる。この因子が 1 になるのは、s×4π が 2π の整数倍のときだけである。いちばん小さい正の s は 2π÷4π = $\mathbf{0.500000}$ で、s が 1/3 なら因子は 1 から $\mathbf{1.732051}$ 離れ、1/4 なら $\mathbf{2.000000}$ 離れる。

第三に、2π 回すと符号が変わり、4π で元に戻る。状態をある軸のまわりに 2π 回すと、s が 1/2 と 3/2 では $\mathbf{-1.000000}$ 倍、1 と 2 では $\mathbf{+1.000000}$ 倍になり、4π 回すとどれも元に戻った。スピン 1/2 の粒が 2π の回転で符号を変えることは、中性子の干渉で測られている（Rauch ほか 1975）。

第四に、次元を上げても、1/2 は 1/2 のままである。3 次元から 6 次元のスピノルを、一つの面の中で 2π 回すと、どの次元でも −1 倍になり、4π で元に戻った。同じ回転で、ベクトルは元に戻る。2 次元では回転が一つの角しか持たず、球面が無いので、s はどんな実数でも掛け算の決まりを満たす。

第五に、「ħ の半分」は三つあり、次元を変えると分かれる。不確定性の下限の 1/2 は、どの次元でも 1/2 である（論文129）。スピンの 1/2 は、3 次元以上で 1/2、2 次元では決まらない。h を質量で割った ħ/2（論文1083）は、次元とともに 1、1/2、1/π と動く。三つが同じ 1/2 になるのは、3 次元だけである。

正直に書くと、示したのは、位相が一つに決まるための条件が s×4π = 2π×整数 だということまでである。なぜ自然にスピン 1/2 の粒が在るのかには答えていない。スピンと粒子の統計の関係にも触れていない。

キーワード：スピン、幾何学的な位相、立体角、二重被覆、スピノル、次元、プランク定数

Abstract

The spin of the electron is 1/2.Why 1/2, and not 1/3 or 0.3?This paper counts the phase acquired when the direction of a state with spin is moved over the sphere, and checks that 1/2 comes out as the ratio of “the 2π of one turn of phase” to “the solid angle 4π of the whole sphere”.No new theorem or law is claimed.

First, carrying the direction around a loop shifts the phase by s times the enclosed solid angle. States of spin s equal to 1/2, 1, 3/2 and 2 were carried around triangles on the sphere. For a triangle of solid angle 5.636735 the phases were, in order, $\mathbf{-2.818368}$, $\mathbf{+0.646450}$, $\mathbf{-2.171918}$ and $\mathbf{+1.292900}$, each equal to −s times the solid angle folded into 2π. Over four triangles and four spins the largest departure was 5.151×10⁻¹⁴.

Second, and this is the core of the paper: for the phase of one loop to be single-valued, s×4π must be an integer multiple of 2π. A closed loop on the sphere can be said to enclose the northern cap or the southern cap. The solid angles of the two caps add up to 4π, and the ratio of the phases counted in the two ways is the factor of a turn through s×4π. That factor is 1 only when s×4π is an integer multiple of 2π. The smallest positive s is 2π÷4π = $\mathbf{0.500000}$; for s equal to 1/3 the factor is $\mathbf{1.732051}$ away from 1, and for 1/4 it is $\mathbf{2.000000}$ away.

Third, a rotation by 2π changes the sign and a rotation by 4π restores it. Rotating the state by 2π about an axis multiplies it by $\mathbf{-1.000000}$ for s equal to 1/2 and 3/2 and by $\mathbf{+1.000000}$ for 1 and 2; rotating by 4π restores all of them. That a particle of spin 1/2 changes sign under a rotation by 2π has been measured in neutron interferometry (Rauch et al. 1975).

Fourth, the 1/2 stays 1/2 when the dimension is raised. Spinors in three to six dimensions, rotated by 2π within one plane, are multiplied by −1 in every dimension and restored by 4π. Under the same rotation a vector is restored. In two dimensions a rotation has a single angle and there is no sphere, so any real s satisfies the multiplication rule.

Fifth, there are three “halves of ħ”, and changing the dimension separates them. The 1/2 of the uncertainty bound is 1/2 in every dimension (Paper 129). The 1/2 of spin is 1/2 in three or more dimensions and undetermined in two. The ħ/2 obtained by dividing h by the mass (Paper 1083) moves with the dimension: 1, 1/2, 1/π. The three are the same 1/2 only in three dimensions.

To be candid, what has been shown is only that the condition for the phase to be single-valued is s×4π = 2π times an integer. Why particles of spin 1/2 exist in nature is not answered. The relation between spin and the statistics of particles is not touched.

Keywords: spin, geometric phase, solid angle, double cover, spinor, dimension, Planck constant

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1087/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1087 はいつも最新の版を指します）。

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