YOI 1090：イグナトフスキーの κ は、速度の空間の曲率に −1 を掛けた数である

論文1090 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1090 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1090,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Ignatowski's κ Is Minus the Curvature of Velocity Space},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1090},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月9日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 970577・970582・970624 に記録されました（2026年10月09日 12:34（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

光の速さを仮定しなくても、相対性原理と空間の一様さと等方さから、慣性系のあいだの変換は一つの数 κ を持つ族に絞られる（イグナトフスキーの定理）。κ が正ならローレンツ変換、0 ならガリレイ変換で、負の側は因果律が外す。本稿は、外された負の側を数で開き、κ という数が速度の空間の曲率と符号だけ違う同じ数であることを確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、κ の符号で、変わらない量の形が三つに分かれる。変換で変わらない量は t² − κx² で、その等高線は κ が正なら双曲線、0 なら時刻が一定の直線、負なら円になる。速さ 0.5 と 0.5 の合成は、κ が +1 で 0.8、0 で 1、−1 で $\mathbf{1.333333333}$ である。

第二に、κ が負の枝では、速度の合成は正接の足し算である。足せるのは速さの逆正接で、速さ 1 と 1 を合成すると角が直角になって分母が 0 になり、速さ 2 と 2 では角の和が $\mathbf{2.214297436}$ ラジアンで直角を超え、同じ向きに足したのに $\mathbf{-1.333333333}$ になる。

第三に、同じ変換を重ねると、時間の向きが逆になる。κ が −1 で速さ 1 の変換を重ねると、2 回で時間の軸が空間の軸に重なり、4 回で時間がちょうど逆を向き、8 回で元に戻る。速さが 0.01 でも 158 回、0.001 でも 1571 回で時間の成分が負になる。場所の違う二つの出来事は、どの対でも順序を逆にできる。

第四に、これが本稿の芯である。速度の空間の曲率は −κ である。直角に二回変換すると回転が残る。速さ 0.5 どうしで、κ が +1 なら $\mathbf{8.213210702}$ 度、−1 なら逆向きに $\mathbf{6.379370208}$ 度である。どちらも、速度の空間に描いた直角三角形の角の和と 180 度の差に等しく、その差は −κ に面積を掛けた数である。面積は角を使わずに足し上げた。κ が正なら双曲面で角が足りず、負なら球面で角が余る。

第五に、既刊の二つの数が、同じ道具の両側から出る。κ が +1 の側で、論文33 のウィグナー角の表が出る。κ を地球の半径の二乗の逆数に負の符号を付けた数に取ると、論文27 が数えた地表の三角形の角の余り（14.8865 秒角）が、三回の変換を重ねて残る回転として出る（球面の式で $\mathbf{14.8869}$ 秒角）。

正直に書くと、κ が負の世界が在るとは言わない。因果律を証明もしない。したのは、既刊が一行で外した側を数で開き、速度の空間の曲率（論文60・33）とイグナトフスキーの定数（論文83）を一つの数で結んだことである。

キーワード：イグナトフスキーの定理、速度の合成、速度の空間、曲率、ウィグナー回転、因果律、球面

Abstract

Without assuming the speed of light, the relativity principle together with the homogeneity and isotropy of space narrows the transformations between inertial frames to a family with a single number κ (Ignatowski’s theorem).Positive κ gives the Lorentz transformation, zero gives the Galilean one, and the negative side is removed by causality.This paper opens the removed side with numbers and checks that κ is the curvature of velocity space with the sign reversed.No new theorem or law is claimed.

First, the sign of κ sorts the invariant into three shapes. The quantity left unchanged is t² − κx²; its level curves are hyperbolas for positive κ, lines of constant time for zero, and circles for negative κ. Composing speeds 0.5 and 0.5 gives 0.8 for κ = +1, 1 for κ = 0 and $\mathbf{1.333333333}$ for κ = −1.

Second, on the negative branch velocities add like tangents. What adds is the arctangent of the speed. Composing speeds 1 and 1 makes the angle a right angle and the denominator vanishes; with speeds 2 and 2 the angles sum to $\mathbf{2.214297436}$ radians, past a right angle, and adding in the same direction gives $\mathbf{-1.333333333}$.

Third, repeating the same boost reverses the direction of time. For κ = −1 and speed 1, two boosts put the time axis on the space axis, four reverse time exactly, and eight return to the start. Even at speed 0.01 the time component turns negative after 158 boosts, and at 0.001 after 1571. Any two events at different places can have their order reversed.

Fourth, and this is the core: the curvature of velocity space is −κ. Two boosts at right angles leave a rotation. For speeds 0.5 and 0.5 it is $\mathbf{8.213210702}$ degrees for κ = +1 and $\mathbf{6.379370208}$ degrees the other way for κ = −1. Each equals the difference between the angle sum of a right triangle drawn in velocity space and 180 degrees, and that difference is −κ times the area. The area was summed without using the angles. For positive κ the surface is a hyperboloid and the angles fall short; for negative κ it is a sphere and they exceed.

Fifth, two numbers from earlier papers come out of the two sides of one tool. On the κ = +1 side the table of Wigner angles of Paper 33 is reproduced. Taking κ to be minus the inverse square of the Earth’s radius, the spherical excess of the surveying triangle counted in Paper 27 (14.8865 arcseconds) appears as the rotation left after three boosts ($\mathbf{14.8869}$ arcseconds by the spherical formula).

To be candid, no claim is made that a world with negative κ exists, and causality is not proved. What was done is to open with numbers the side that an earlier paper removed in one line, and to join the curvature of velocity space (Papers 60 and 33) and Ignatowski’s constant (Paper 83) through one number.

Keywords: Ignatowski's theorem, velocity addition, velocity space, curvature, Wigner rotation, causality, sphere

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1090/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1090 はいつも最新の版を指します）。

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