YOI 1091：多変数の連続関数は一変数の関数と足し算で書けるが、部品になめらかさを求めると書けない関数が残る

論文1091 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1091 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1091,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Every Continuous Function of Several Variables Is Built from Functions of One Variable and Addition, but Demanding Smooth Parts Leaves Functions That Cannot Be Built},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1091},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月22日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 972599・972602・972607 に記録されました（2026年10月22日 18:13（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ヒルベルトは 1900 年、七次方程式の根が三つの係数の関数として、二変数の関数を有限回組み合わせて作れるかを問うた（第13問題）。連続な関数でよいなら、答えは「作れる」である。Kolmogorov（1957）は、立方体の上の n 変数の連続関数がどれも、一変数の連続関数と足し算だけで 2n+1 項の和に書けることを示した。なめらかな部品を求めると、答えは逆になる。Vitushkin（1954）は、変数の数を微分できる回数で割った数が部品のそれより大きいと、書けない関数が在ることを示した。本稿は、この分かれ目を数で確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、二変数の関数として本当に要るのは足し算だけである。xy は ((x+y)² − (x−y)²)/4、max(x, y) は (x+y+|x−y|)/2 と書ける。一項で書けるかは混合微分で判定でき、x²+xy+y² は一項では書けないが二項なら書ける。

第二に、2n+1 は、どの点でも半分より多くの組の升目に入るための数である。ずらした m 組の升目では、どの点もよい組が m−n 以上あり、外側の関数を一回作るごとに誤差は n/(m−n) 倍以下になる。縮むのは m が 2n+1 以上のときだけで、m=2n では割合が 1 になる。

第三に、二変数の内側の関数を四段まで作り、外側の関数を回した。内側の関数は f を選ぶ前に作った。升目の像は四段とも重ならず、一回目の誤差の比は、升目の中の揺れが小さい四つの場合で $\mathbf{0.663101}$ から $\mathbf{0.667131}$ で、上限の 2/3 にほぼ一致した。

第四に、これが本稿の芯である。連続な部品は、どれだけ急でもよいことで畳んでいる。一つの組の内側の関数は平面の升目を一本の線に並べ、線で隣り合う升目は平面では中央値で $\mathbf{0.360555}$ 離れていた（隣の升目なら 0.1）。そのため外側の関数は、像のすきまのあいだで急に値を変え、傾きの最大は回ごとに 1.128e+04、8.809e+05、2.648e+08 と大きくなった。二回目からは升目を細かくしても揺れが減らず、比は $\mathbf{0.731367}$ と $\mathbf{0.737259}$ になり、粗い升目では誤差が増えることもあった。

第五に、なめらかさを求めると、変数の数を微分できる回数で割った数が壁になる。関数を ε まで決める数の個数を補間で測ると、ε の何乗で増えるかの指数は、区分一次で $\mathbf{0.4904}$、$\mathbf{0.9663}$、$\mathbf{1.4330}$、三次で $\mathbf{0.2453}$、$\mathbf{0.4835}$ で、変数の数を微分の次数で割った数に寄った。部品がこの数より小さい組み合わせでは、数え方の上で足りない。

正直に書くと、定理を証明していない。内側の関数は四段で打ち切った有限の作りで、2n+1 が減らせないこと（Sternfeld 1985）もヴィトゥシュキンの定理も示していない。したのは、二つの結果の分かれ目が、部品に求めるなめらかさにあることを、作って数えて見えるようにしたことである。

キーワード：コルモゴロフ＝アーノルドの定理、ヒルベルトの第13問題、関数の重ね合わせ、内側の関数、ヴィトゥシュキンの定理、なめらかさ、イプシロン・エントロピー

Abstract

In 1900 Hilbert asked whether the root of an equation of the seventh degree, as a function of three coefficients, can be built from functions of two variables by finitely many compositions (the thirteenth problem).If continuous functions are allowed, the answer is yes. Kolmogorov (1957) showed that every continuous function of n variables on the cube is a sum of 2n+1 terms built from continuous functions of one variable and addition alone.If smooth parts are required, the answer turns the other way. Vitushkin (1954) showed that when the number of variables divided by the number of derivatives exceeds that of the parts, some functions cannot be built.This paper checks this divide with numbers. No new theorem or law is claimed.

First, the only function of two variables that is really needed is addition. xy is ((x+y)² − (x−y)²)/4 and max(x, y) is (x+y+|x−y|)/2. Whether one term suffices can be decided by a mixed derivative: x²+xy+y² cannot be written with one term but can with two.

Second, 2n+1 is the number at which every point lies in the squares of more than half of the families. With m shifted families of squares every point has at least m−n good families, and each construction of outer functions shrinks the error to at most n/(m−n) of itself. It shrinks only when m is at least 2n+1; for m=2n the factor is 1.

Third, inner functions of two variables were built to four levels and the outer functions were iterated. The inner functions were built before f was chosen. At all four levels the images of the squares do not overlap, and the first-round error ratio, in the four cases where the oscillation inside a square is small, ranged from $\mathbf{0.663101}$ to $\mathbf{0.667131}$, close to the bound 2/3.

Fourth, and this is the core: continuous parts fold the plane by being allowed to be arbitrarily steep. The inner sum of one family lines up the squares of the plane along one line, and squares that are neighbours on the line were a median $\mathbf{0.360555}$ apart in the plane (0.1 for neighbouring squares). So the outer function has to change its value steeply across the gaps between images, and its largest slope grew round by round, 1.128e+04, 8.809e+05, 2.648e+08. From the second round on, refining the squares did not reduce the oscillation, the ratios were $\mathbf{0.731367}$ and $\mathbf{0.737259}$, and with coarse squares the error could even grow.

Fifth, with smoothness, the number of variables divided by the number of derivatives becomes a wall. Measuring by interpolation how many numbers are needed to pin a function down to ε, the exponent of growth was $\mathbf{0.4904}$, $\mathbf{0.9663}$, $\mathbf{1.4330}$ for piecewise-linear and $\mathbf{0.2453}$, $\mathbf{0.4835}$ for cubic interpolation, close to the number of variables divided by the order. Combinations of parts with a smaller number than this fall short in the count.

To be candid, no theorem is proved. The inner functions are a finite construction stopped at four levels, and neither the minimality of 2n+1 (Sternfeld 1985) nor Vitushkin’s theorem is shown. What was done is to make visible, by building and counting, that the divide between the two results lies in the smoothness required of the parts.

Keywords: Kolmogorov–Arnold theorem, Hilbert's thirteenth problem, superposition of functions, inner functions, Vitushkin's theorem, smoothness, epsilon-entropy

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1091/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1091 はいつも最新の版を指します）。

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