YOI 1096：電子の雲の皮ごとの重さは、局所の指数がちょうど 2 の半径で山になり、円の状態ではそれがボーアの半径 n² である

論文1096 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1096 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1096,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Weight per Skin of the Electron Cloud Peaks Where Its Local Exponent Is Exactly 2, and for Circular States That Radius Is Bohr's n²},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1096},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月29日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973680・973681 に記録されました（2026年10月29日 19:29（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文01 は、球の皮一枚ぶんの重さ（皮の面積 4πr² と密度の積）が半径によらず同じになるのは、密度が 1/r² のときだけであることを示した。では、原子の中の電子の雲に同じ物差しを当てると何が見えるか。電子の雲は 1/r² ではない。本稿はそのずれ方を数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、皮ごとの重さの山は、雲の局所の指数がちょうど 2 の所にある。雲の密度を、その半径の近くで 1/rⁿ と見たときの n を局所の指数と呼ぶ。皮ごとの重さが山になるのは、局所の指数がちょうど 2 のときで、これは恒等式である。1s・2s・2p・3s・3p・3d・4s・4f の山を全部探すと、どの山でも局所の指数は 2.000000 だった（第2節）。

第二に、1s の山はボーア半径である。1s の局所の指数は 2r（ボーア半径を 1 とする）で、2 になるのは r＝1 だけである。ボーア半径の内側にいる確率は 0.3233236、平均の半径は 1.5 である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。円の状態の山は、ボーアの半径 n² である。角運動量がいちばん大きい状態（l＝n−1）では、局所の指数が 2 になる半径が、ボーアが 1913 年に軌道の半径として置いた n² に、どの n でも一致する。ばらつきを平均で割ると n＝1 で 0.577350、n＝100 で 0.070535 と縮み、山より内側にいる確率は 1/2 へ寄る（n＝100 で 0.481206）（第4節）。

第四に、2s の二つの山は黄金比で書ける。山は 2/φ²＝0.763932 と 2φ²＝5.236068 で、積は 4、幾何平均は節の r＝2 である。対数の目盛りでは、二つの山は節から同じ 0.962423650 ずつ離れている（第5節）。

第五に、分離子は、指数 2 が大局か局所かである。密度がどこでも 1/r² の雲は、どの皮も同じ重さで、山も大きさも持たない。原子の雲は、局所の指数が 2 を一度だけ横切り、そこが原子の大きさになる。電子は 1/r² の密度では動いていないが、唯一性定理の 2 は、原子の大きさを決める一点として雲の中に残っている（第6節）。

キーワード：水素原子、動径確率、ボーア半径、唯一性定理、局所の指数、黄金比、分離子

Abstract

Paper 01 showed that the weight of one spherical skin (the area 4πr² times the density) is the same at every radius only when the density is 1/r². What do we see if we apply the same ruler to the electron cloud inside an atom? The electron cloud is not 1/r². This paper counts how it departs. No new theorem or law is claimed.

First, the peaks of the weight per skin sit where the local exponent of the cloud is exactly 2. Call the local exponent the n obtained by viewing the density near a radius as 1/rⁿ. The weight per skin has a peak exactly when the local exponent is 2, and this is an identity. Searching all peaks of 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s and 4f, the local exponent at every peak was 2.000000 (Section 2).

Second, the 1s peak is the Bohr radius. The local exponent of 1s is 2r (with the Bohr radius as 1), and it equals 2 only at r = 1. The probability of being inside the Bohr radius is 0.3233236, and the mean radius is 1.5 (Section 3).

Third, and this is the core of the paper: the peak of a circular state is Bohr’s radius n². In the states of largest angular momentum (l = n - 1), the radius where the local exponent equals 2 coincides, for every n, with n², the value Bohr set as the orbit radius in 1913. The spread divided by the mean shrinks from 0.577350 at n = 1 to 0.070535 at n = 100, and the probability of lying inside the peak approaches 1/2 (0.481206 at n = 100) (Section 4).

Fourth, the two peaks of 2s can be written with the golden ratio. The peaks are 2/φ² = 0.763932 and 2φ² = 5.236068; their product is 4 and their geometric mean is the node at r = 2. On a logarithmic scale the two peaks lie the same 0.962423650 away from the node (Section 5).

Fifth, the separator is whether the exponent 2 holds globally or locally. A cloud whose density is 1/r² everywhere puts the same weight on every skin and has neither a peak nor a size. The cloud of an atom crosses a local exponent of 2 exactly once, and that radius becomes the size of the atom. The electron does not move with a 1/r² density, but the 2 of the uniqueness theorem remains inside the cloud as the one point that sets the size of the atom (Section 6).

Keywords: hydrogen atom, radial probability, Bohr radius, uniqueness theorem, local exponent, golden ratio, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第2版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1096/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1096 はいつも最新の版を指します）。

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