YOI 1098：指数が次元に等しい格子の和では、形は縁までの距離の対数の平均として入る

論文1098 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1098 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1098,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {In a Lattice Sum Whose Exponent Equals the Dimension, Shape Enters as the Mean Logarithm of the Distance to the Edge},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1098},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月29日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973698・973699・973725 に記録されました（2026年10月29日 23:24（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文01 は、3 次元で殻ごとの重さが半径によらないのは指数 2 のときだけだと示し、論文08 は 4 次元で同じことが指数 3 で起きることを読んだ。この「指数＝次元−1」の斜めの一つ右、指数が次元に等しいときが、足し合わせの止まらなくなる境目である（2 次元の地図で論文1094、3 次元の双極子で論文1097）。本稿は、この境目（逆二乗則の地図の黄色の斜め）で、格子の上の和が何でできているかを、1 次元から 8 次元まで数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、和は三つに分かれる。次元 d の格子の点 n ごとに、向きの重み（核）K を |n| の d 乗で割った量を、形 S を R 倍した領域で足すと、核の向きの積分に ln R を掛けた項、格子だけが決める残り、形の項の三つに分かれる。形の項は、向きごとの縁までの距離の対数を、核で重みづけて積分したものである（第2節）。

第二に、格子の残りの顔は、次元ごとに変わる。核が 1 のとき、残りは 1 次元で 2γ＝1.154431（γ はオイラーの定数）、2 次元でクロネッカーの極限公式の π(2γ＋2ln2＋3lnπ−4lnΓ(1/4))＝2.584982、4 次元で π²(2γ＋(5/3)ln2＋lnπ−12lnA)＝4.632326（A はグレイシャーの定数）、6 次元で 16β′(3)＋(π³/2)γ−πζ(3)＝5.677514、8 次元で (π⁴/6)γ＋15ζ′(4)＝8.337340 で、8 次元では ln2 がちょうど消える。3・5・7 次元はテータ関数の道でだけ値が出た（3.821924・5.131696・6.662093）。二つの道の差は最大 9.5×10⁻³⁰ で、格子で直接足した数とも、1/R で寄る 1 次元を除いて 4 桁以上合った（第3節）。

第三に、形は、縁までの距離の幾何平均として入る。核が 1 なら、どんな形で足しても、縁までの距離を向きについて幾何平均した長さを半径とする球で足したのと同じになる（R が大きいとき）。正方形ではその長さが半分の辺の 2exp(−2G/π)＝1.116306 倍（G はカタランの定数）、楕円では二つの半径の調和平均になる。格子で足すと、正方形と円の差は R＝3000 で 0.692372（式は 2π ln2 − 4G＝0.691310）、半径 2 対 1 の楕円と円の差は R＝1000 で 1.807539（式は 1.807560）だった。同じ体積なら球がいちばん大きい（イェンセンの不等式）（第4節）。

第四に、形は格子を知らず、格子の残りは形を知らない。1 点あたりの面積をそろえた三角の格子では、残りが 2.518477 に変わる（正方格子は 2.584982）が、正方形と円の差は R＝1000 で 0.691593 と、同じ式に寄る。三角の格子の残りには、Γ(1/4) の代わりに Γ(1/3) が出る（第5節）。

第五に、核の向きの平均が 0 なら対数が消え、双極子では形の項が反電場係数になる。双極子の核では格子の残りも殻ごとに 0 になり、和は（全立体角）×(1/d − D) だけになる（D は反電場係数）。2 次元の楕円では π(a−b)/(a＋b) で、半径 2 対 1 の楕円で格子の和は R＝800 で 1.047274（式は π/3＝1.047198）。3 次元の回転楕円体 7 つでは、形の項の積分と式の差が最大 4.8×10⁻⁸ で、論文1097 の 0・4π/3・−8π/3 はこの形の項だけから出る（第6節）。

第六に、分離子は、核の向きの平均が 0 かどうかと、格子の回転がその核を殻ごとに消すかどうかである。cos4θ の核は、正方格子では殻ごとに消えずに残り Γ(1/4)⁸/(384π³)＝2.507655 を出し、三角の格子では消える。cos6θ はその逆で、三角の格子に残り √3Γ(1/3)¹⁸/(2048π⁸)＝4.501541 を出す。二つの閉じた形は整数の関係を探す道具（PSLQ）で見つけ、テータ関数の道の値と 40 桁以上で一致した（証明はしない）（第7節）。

キーワード：格子の和、エプスタインのゼータ関数、クロネッカーの極限公式、反電場係数、幾何平均、唯一性定理、分離子

Abstract

Paper 01 showed that in three dimensions the weight per shell is independent of the radius only for exponent 2, and Paper 08 read the same thing happening at exponent 3 in four dimensions. One step to the right of this diagonal, exponent = dimension - 1, an exponent equal to the dimension is the border where a summation stops converging (Paper 1094 on a two-dimensional map, Paper 1097 with three-dimensional dipoles). This paper counts what a sum over a lattice is made of on that border (the yellow diagonal of the map of inverse-square laws), from one to eight dimensions. No new theorem or law is claimed.

First, the sum splits into three parts. Summing, over the region obtained by enlarging a shape S by R, the weight of direction (the kernel) K divided by the d-th power of |n| at each lattice point n in d dimensions gives the integral of the kernel over directions times ln R, a remainder decided by the lattice alone, and a shape term. The shape term is the integral, weighted by the kernel, of the logarithm of the distance to the edge in each direction (Section 2).

Second, the face of the lattice remainder changes with the dimension. For the kernel 1, the remainder is 2γ = 1.154431 in one dimension (γ is Euler’s constant), π(2γ + 2ln2 + 3lnπ - 4lnΓ(1/4)) = 2.584982 from Kronecker’s limit formula in two, π²(2γ + (5/3)ln2 + lnπ - 12lnA) = 4.632326 in four (A is Glaisher’s constant), 16β′(3) + (π³/2)γ - πζ(3) = 5.677514 in six, and (π⁴/6)γ + 15ζ′(4) = 8.337340 in eight, where ln2 cancels exactly. In three, five and seven dimensions the values came only from the theta-function route (3.821924, 5.131696, 6.662093). The two routes differ by at most 9.5×10⁻³⁰, and agree with direct lattice sums to four digits or more, except in one dimension, which approaches as 1/R (Section 3).

Third, the shape enters as the geometric mean of the distance to the edge. For the kernel 1, summing over any shape is the same as summing over the ball whose radius is the geometric mean, over directions, of the distance to the edge (for large R). For a square this length is 2exp(-2G/π) = 1.116306 times the half side (G is Catalan’s constant), and for an ellipse it is the harmonic mean of the two radii. On the lattice, the difference between square and disc is 0.692372 at R = 3000 (formula 2π ln2 - 4G = 0.691310), and between an ellipse with radii 2 to 1 and the disc 1.807539 at R = 1000 (formula 1.807560). For the same volume the ball gives the largest sum (Jensen’s inequality) (Section 4).

Fourth, the shape does not know the lattice, and the lattice remainder does not know the shape. On a triangular lattice with the same area per point, the remainder changes to 2.518477 (2.584982 for the square lattice), but the difference between square and disc approaches the same formula, 0.691593 at R = 1000. In the remainder of the triangular lattice, Γ(1/3) appears in place of Γ(1/4) (Section 5).

Fifth, if the kernel averages to zero over directions, the logarithm disappears, and for dipoles the shape term becomes the depolarization factor. For the dipole kernel the lattice remainder also vanishes shell by shell, and the sum is only (full solid angle)×(1/d - D), with D the depolarization factor. For an ellipse in two dimensions this is π(a - b)/(a + b): for radii 2 to 1 the lattice sum is 1.047274 at R = 800 (formula π/3 = 1.047198). For seven spheroids in three dimensions the integral of the shape term and the formula differed by at most 4.8×10⁻⁸, and the 0, 4π/3 and -8π/3 of Paper 1097 come from this shape term alone (Section 6).

Sixth, the separator is whether the kernel averages to zero over directions, and whether the rotations of the lattice cancel the kernel shell by shell. The kernel cos4θ is not cancelled shell by shell on the square lattice and leaves the remainder Γ(1/4)⁸/(384π³) = 2.507655, while on the triangular lattice it is cancelled. For cos6θ it is the other way round: it leaves √3Γ(1/3)¹⁸/(2048π⁸) = 4.501541 on the triangular lattice. The two closed forms were found with an integer-relation tool (PSLQ) and agree with the theta-function values to more than 40 digits (they are not proved) (Section 7).

Keywords: lattice sum, Epstein zeta function, Kronecker limit formula, depolarization factor, geometric mean, uniqueness theorem, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1098/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1098 はいつも最新の版を指します）。

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