YOI 1102：輪の間の石けん膜は間隔が半径の 1.3255 倍で切れるが、同じ形の鎖はいつでも垂れる

論文1102 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1102 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1102,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Soap Film between Two Rings Breaks at a Gap of 1.3255 Radii, While a Chain of the Same Shape Always Hangs},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1102},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月30日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973724・973725・973738 に記録されました（2026年10月30日 02:54（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

同じ半径の二つの輪を向かい合わせて石けん水から引き上げると、輪の間に、真ん中がくびれた膜が張る。その断面は、垂れた鎖と同じ懸垂線の形である。ところが輪の間隔を広げていくと膜は切れ、鎖はどんなに長くしても垂れる。本稿は、何がこの二つを分けているかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、膜は、輪の間隔が半径の 1.325486839 倍を超えると無くなる。くびれを表す数 t が tanh t ＝ 1/t をみたすとき（t ＝ 1.199678640）が上限で、そのときのくびれは半径の 0.552434125 倍である。上限より狭いと膜の形は二つあり（太いくびれと細いくびれ）、上限で一つに合わさって消える（第2節）。

第二に、細いくびれは崩れ、太いくびれも 1.0554 倍から先は平らな二枚の膜より広い。端で 0 になる形で揺らすと、細いくびれは面積が減り（崩れる）、太いくびれは増えた（崩れない）。太いくびれの面積は、間隔が半径の 1.055394794 倍で二枚の円板と等しくなり（ゴールドシュミット）、上限では円板の 1.199678640 倍で、これは t に等しい（恒等式）（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。鎖は、長さの縛りが上下にずらす自由を与えるので、いつでも垂れる。鎖の形は懸垂線を上下にずらしたもので、そのずらしの量が長さの縛りから決まる。端の間隔 2 に対して長さ 2.05 から 100 まで、どの長さにも形があった。膜には長さの縛りが無いので上下にずらせず、ずらした形を回すと平均曲率が 0 でなくなる（$-0.247651$）（第4節）。

第四に、膜が会う角の 109.4712206 度は、正八面体の二面角と同じ根である。三枚の膜は 120 度で会い（論文770 の点を足して道を短くするときの角と同じ）、膜の縁が四本会う所の角は arccos(−1/3)＝109.4712206 度で、論文209 の表の正八面体の二面角と同じく、立方体の対角線の向きから来る（第5節）。

第五に、分離子は、長さの縛りが上下にずらす自由を与えるかどうかである。同じ懸垂線でも、縛りのある鎖は二つの端と長さの三つの条件を、ずらしを含む三つの数でいつでも満たす。縛りの無い膜は、くびれの太さ一つで端の条件を満たすしかなく、間隔が開くと満たせなくなる（第4節）。

キーワード：石けん膜、懸垂面、懸垂線、ゴールドシュミット解、プラトーの法則、長さの縛り、分離子

Abstract

Draw two rings of the same radius, facing each other, out of soapy water, and a film with a waist spans between them. Its cross-section is the catenary, the shape of a hanging chain. Yet as the rings are pulled apart the film breaks, while a chain hangs however long it is made. This paper counts what separates the two. It claims no new theorem and no new law.

First, the film vanishes when the gap between the rings exceeds 1.325486839 times the radius. The limit is where the number t describing the waist satisfies tanh t = 1/t (t = 1.199678640), and there the waist is 0.552434125 times the radius. Below the limit the film has two shapes (a thick neck and a thin neck), which merge at the limit and vanish (Section 2).

Second, the thin neck collapses, and beyond 1.0554 radii even the thick neck has more area than two flat films. Shaken in a shape that vanishes at the ends, the thin neck loses area (collapses) and the thick neck gains (does not collapse). The area of the thick neck equals that of two disks at a gap of 1.055394794 radii (Goldschmidt), and at the limit it is 1.199678640 times the disks, which equals t (an identity) (Section 3).

Third, and this is the core of the paper: a chain always hangs because its length constraint gives the freedom to shift up and down. The shape of a chain is a catenary shifted up or down, and the amount of the shift is fixed by the length constraint. For ends 2 apart, every length from 2.05 to 100 had a shape. A film has no length constraint and cannot shift; revolving a shifted curve makes the mean curvature nonzero ($-0.247651$) (Section 4).

Fourth, the angle of 109.4712206 degrees at which films meet shares its root with the dihedral angle of the octahedron. Three films meet at 120 degrees (the angle of Paper 770 when a point is added to shorten a network), and where four edges of films meet the angle is arccos(−1/3) = 109.4712206 degrees, which, like the dihedral angle of the octahedron in the table of Paper 209, comes from the directions of the diagonals of a cube (Section 5).

Fifth, the separator is whether a length constraint gives the freedom to shift up and down. For the same catenary, the constrained chain always meets its three conditions (two ends and the length) with three numbers including the shift. The unconstrained film can meet the conditions at the rings only with the size of its waist, and fails once the gap opens (Section 4).

Keywords: soap film, catenoid, catenary, Goldschmidt solution, Plateau's laws, length constraint, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1102/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1102 はいつも最新の版を指します）。

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