YOI 1103：惑星の速度の矢の先は円をえがき、速さ 0 の点がその円の内にあれば回り続け、外にあれば去っていく

論文1103 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1103 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1103,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Planet's Velocity Arrow Traces a Circle, and the Planet Stays If the Point of Zero Velocity Lies Inside It and Leaves If It Lies Outside},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1103},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月30日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973733・973736・973738・973757 に記録されました（2026年10月30日 05:22（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

惑星の速度の矢を、どの時刻のものも同じ一点から描くと、矢の先は円をえがく（ハミルトン 1847）。本稿は、この円から軌道について何が読めるか、何がこの線を円にしているかを、数で確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、速度の矢の先は円をえがき、その中心は離心率ベクトルを直角に回した所にある。離心率 0.0167・0.5・0.9 の軌道を数値で解いて速度の先に円をあてはめると、円からのずれは半径の 3.4×10⁻¹² 以下だった。半径は GM/h（h は単位質量あたりの角運動量）、速さ 0 の点から中心までのずれはその e 倍で、中心は離心率ベクトル（ラプラス＝ルンゲ＝レンツ・ベクトル）を直角に回して h で割った点と 2.75×10⁻¹¹ 以内で一致した。長半径 1 天文単位・離心率 0.0167 とした地球の模型では、半径 29.7888 km/s、ずれ 0.4975 km/s である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。速度の線の曲がりの半径は、力に距離の二乗を掛けて h で割った量なので、円になるのは逆二乗の力だけである。近い点 1・遠い点 2 の軌道で力の冪を動かすと、曲がりの半径の最大 ÷ 最小は、ばね（冪 +1）で 8.000000、2 次元の重力（冪 −1）で 2.000000、冪 −1.5 と −2.5 で 1.414214、逆二乗で 1.000000 だった。近い点から遠い点までの角 ÷ π は 0.500000・0.700231・0.811505・1.000000・1.426363 で、軌道が閉じるのはばねと逆二乗の二つ（ベルトランの定理）、速度の線が円になるのは逆二乗の一つだけである（第3節）。

第三に、エネルギーは、速さ 0 の点の、速度の円に対する方べきの半分である。式 2E＝c²−R²（c は中心までの距離、R は半径）はミルナー（1983）にある。速さ 0 の点が円の内なら楕円、上なら放物線、外なら双曲線で、六つの軌道で差は 2.7×10⁻¹³ 以下だった。方べきの定理から、軌道の上で向きが正反対の二つの速度は、速さの積がいつも GM/a になる（a は長半径）。円をあてはめずに軌道のデータから 12 の向きで確かめ、ずれは 5.8×10⁻⁸ 以下だった（第4節）。

第四に、去っていく軌道では、遠くでの速さは速さ 0 の点から円へ引いた接線の長さで、曲がる角はそこから円を見込む角である。離心率 1.414214・2・3 の軌道で曲がる角は 90.000000・60.000000・38.942441 度で、距離 10⁸ まで積分した角と、ラザフォードの式の角に、10⁻¹¹ 度以内で一致した。直角に曲がるのは、接線の長さが円の半径と等しいときである（第5節）。

第五に、同じエネルギーの速度の円は、エネルギーが負なら球の大円を、正なら双曲平面の直線を、平面に写したものである。エネルギー −1/2 の五つの円を半径 1 の球へ持ち上げると、点の載る平面は球の中心を 3.4×10⁻¹² 以内で通り、大円の上の角は離心近点角と 3.2×10⁻¹¹ 以内で一致した。半径を 1 パーセント縮めた円は、中心から 0.012562 外れる。この円の族は、論文1045 のマクスウェルの魚眼の光の道と同じ円の族である（フォック 1935、ミルナー 1983）（第6節）。

正直に書くと、ここで扱うのは平面の運動である。三次元の運動量空間の球と、量子の話（水素原子）には立ち入らない。

キーワード：速度の円、ホドグラフ、逆二乗の力、離心率ベクトル、方べき、ラザフォード散乱、立体射影、分離子

Abstract

Draw a planet’s velocity arrows, taken at every moment, from one common point, and the tips of the arrows trace a circle (Hamilton 1847). This paper counts what the circle tells about the orbit, and what makes the curve a circle. It claims no new theorem and no new law.

First, the tip of the velocity arrow traces a circle, and its centre lies at the eccentricity vector turned through a right angle. Solving orbits of eccentricity 0.0167, 0.5 and 0.9 numerically and fitting a circle to the tips of the velocities, the deviation from a circle was at most 3.4×10⁻¹² of the radius. The radius is GM/h (h is the angular momentum per unit mass), the offset of the centre from the point of zero velocity is e times that, and the centre agreed within 2.75×10⁻¹¹ with the eccentricity vector (the Laplace-Runge-Lenz vector) turned through a right angle and divided by h. In a model of the Earth with a semi-major axis of 1 astronomical unit and eccentricity 0.0167, the radius is 29.7888 km/s and the offset 0.4975 km/s (Section 2).

Second, and this is the core of the paper: the radius of curvature of the velocity curve is the force times the squared distance divided by h, so only the inverse-square force makes it a circle. Varying the power of the force on an orbit with nearest point 1 and farthest point 2, the maximum ÷ minimum of the radius of curvature was 8.000000 for a spring (power +1), 2.000000 for gravity in two dimensions (power −1), 1.414214 for powers −1.5 and −2.5, and 1.000000 for the inverse square. The angle from the nearest to the farthest point ÷ π was 0.500000, 0.700231, 0.811505, 1.000000 and 1.426363: the orbit closes for two forces, the spring and the inverse square (Bertrand’s theorem), but the velocity curve is a circle for one only, the inverse square (Section 3).

Third, the energy is half the power of the point of zero velocity with respect to the velocity circle. The formula 2E = c² − R² (c the distance to the centre, R the radius) is in Milnor (1983). With the point of zero velocity inside the circle the orbit is an ellipse, on it a parabola, outside it a hyperbola; over six orbits the difference was at most 2.7×10⁻¹³. By the theorem on the power of a point, two velocities on an orbit pointing in opposite directions always have speeds whose product is GM/a (a the semi-major axis). Checked without fitting a circle, from the orbit data in 12 directions, the deviation was at most 5.8×10⁻⁸ (Section 4).

Fourth, on an orbit that leaves, the speed far away is the length of the tangent from the point of zero velocity to the circle, and the angle of deflection is the angle the circle subtends from that point. For eccentricities 1.414214, 2 and 3 the deflections are 90.000000, 60.000000 and 38.942441 degrees, agreeing within 10⁻¹¹ degrees with the angle integrated out to a distance of 10⁸ and with Rutherford’s formula. The orbit turns through a right angle when the tangent is as long as the radius of the circle (Section 5).

Fifth, velocity circles of equal energy are the images in the plane of great circles of a sphere when the energy is negative, and of straight lines of the hyperbolic plane when it is positive. Lifting five circles of energy −1/2 to a sphere of radius 1, the plane holding the points passed within 3.4×10⁻¹² of the centre of the sphere, and the angle along the great circle agreed with the eccentric anomaly within 3.2×10⁻¹¹. A circle with its radius shrunk by 1 per cent misses the centre by 0.012562. This family of circles is the same family as the light paths of Maxwell’s fish-eye in Paper 1045 (Fock 1935, Milnor 1983) (Section 6).

To be candid, what is treated here is motion in a plane. The sphere in three-dimensional momentum space and quantum matters (the hydrogen atom) are not entered.

Keywords: velocity circle, hodograph, inverse-square force, eccentricity vector, power of a point, Rutherford scattering, stereographic projection, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1103/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1103 はいつも最新の版を指します）。

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