YOI 1104：地球に描いた半径 1000 km の円は円周が 25.77 km 足りないが、紙を丸めた円柱の上の円は少しも足りない

論文1104 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1104 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1104,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Circle of Radius 1000 km Drawn on the Earth Falls 25.77 km Short of 2πr, While a Circle on a Cylinder of Rolled Paper Falls Short Not at All},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1104},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月30日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973735・973736・973738・973757 に記録されました（2026年10月30日 05:25（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

平らな紙に半径 r の円を描くと、円周は 2πr である。曲がった面では、面の上で中心から距離 r の点を集めた輪（測地円）の円周が、2πr からずれる。本稿は、そのずれが何を測っているかを数で確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、球の上の円は円周が足りず、足りなさを半径の三乗で割ると曲がりが出る。半径 1 の球の一点から 8192 本の測地線を打って輪をつくり、円周を折れ線とヤコビの式の二通りで測った（差は 10⁻⁵ 以下）。3(2πr−C)/(πr³) は r＝0.4 で 0.992030409、0.02 で 0.999980000 と、球の曲率 1 に近づいた。面積の足りなさからの値も 1 に近づき、円周の足りない割合は面積の足りない割合の 2 倍に近づく（1.999987）（第2節）。

第二に、地球の上の円も足りない。地球を半径 6371 km の球と置くと、半径 100 km の円は 25.7993 m、1000 km の円は 25.767863 km だけ 2πr に足りず、測った円周率（円周 ÷ 直径）は 3.128708722 になる。天測で星の高度が同じ点を結ぶ位置の円は、高度 60 度で円周が半径の 2π 倍の 0.954930、30 度で 0.826993 にとどまる（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。円周の足りなさが測るのは面の中の曲がりで、外から見た曲がりではない。紙を丸めた円柱は外から見て曲がっているが（平均の曲がり 0.500000）、上に描いた円は半径 3 までちょうど 2πr だった（差 8.9×10⁻¹³ 以下）。論文1102 の石けん膜（懸垂面）は平均の曲がりが 0 なのに、首の上の円は円周が余り、3(2πr−C)/(πr³) は −0.999900019 と −1 に近づいた。トーラスでは外の赤道で 0.25、内の赤道で −0.5、上で 0 に近づき、どれも面の中の曲がり（ガウス曲率）と一致した（第4節）。

第四に、次元を動かすと、足りなさの係数が変わる。d 次元の球面の上の小さな球では、表面積の足りなさ ÷ r² は (d−1)/6、体積の足りなさ ÷ r² は d(d−1)/(6(d+2)) で、二つの比は 2 次元の 2 から、3 次元の 1.666667、4 次元の 1.500000 へ下がる。曲率が負の空間では、同じ大きさで余る（第5節）。

正直に書くと、地球は球と置いた。空間の曲がりを球の半径の余りで測る重力の話には立ち入らない。

キーワード：測地円、円周の不足、ガウス曲率、平均曲率、驚異の定理、天測、次元、分離子

Abstract

Draw a circle of radius r on flat paper and its circumference is 2πr. On a curved surface, the ring of points at distance r from a centre, measured along the surface (a geodesic circle), has a circumference that departs from 2πr. This paper counts what that departure measures. It claims no new theorem and no new law.

First, a circle on a sphere falls short in circumference, and the shortfall divided by the cube of the radius gives the curvature. From a point of a sphere of radius 1, 8192 geodesics were shot to form the ring, and the circumference was measured in two ways, as a polygon and by Jacobi’s equation (difference at most 10⁻⁵). The quantity 3(2πr − C)/(πr³) was 0.992030409 at r = 0.4 and 0.999980000 at 0.02, approaching the curvature 1 of the sphere. The value from the shortfall of area also approaches 1, and the fraction by which the circumference falls short approaches twice the fraction for the area (1.999987) (Section 2).

Second, circles on the Earth fall short too. Taking the Earth as a sphere of radius 6371 km, a circle of radius 100 km falls 25.7993 m short of 2πr and one of 1000 km falls 25.767863 km short, so the measured ratio of circumference to diameter is 3.128708722. In celestial navigation, the circle of position joining the points where a star stands at the same altitude has a circumference of only 0.954930 of 2π times its radius at an altitude of 60 degrees, and 0.826993 at 30 degrees (Section 3).

Third, and this is the core of the paper: the shortfall of circumference measures the curvature within the surface, not the curvature seen from outside. A cylinder of rolled paper looks curved from outside (mean curvature 0.500000), yet circles drawn on it were exactly 2πr up to radius 3 (difference at most 8.9×10⁻¹³). The soap film of Paper 1102 (a catenoid) has mean curvature 0, yet circles on its neck have too much circumference, and 3(2πr − C)/(πr³) approached −1 as −0.999900019. On a torus the value approached 0.25 on the outer equator, −0.5 on the inner equator and 0 on the top, each agreeing with the curvature within the surface (the Gaussian curvature) (Section 4).

Fourth, moving the dimension changes the coefficients of the shortfall. For a small ball on a d-dimensional sphere, the shortfall of surface area ÷ r² is (d − 1)/6 and the shortfall of volume ÷ r² is d(d − 1)/(6(d + 2)); their ratio falls from 2 in two dimensions to 1.666667 in three and 1.500000 in four. In a space of negative curvature there is an excess of the same size (Section 5).

To be candid, the Earth was taken as a sphere. The gravitational question of measuring the curvature of space by an excess in the radius of a ball is not entered.

Keywords: geodesic circle, circumference deficit, Gaussian curvature, mean curvature, Theorema Egregium, celestial navigation, dimension, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1104/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1104 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ