YOI 1105：4 次元球面の 16π² は Q と W で分け合い、いちばん歪んだ皮一枚が W の取り分の床を決める

論文1105 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1105 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1105,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {On the Four-Sphere, Q and W Share 16π², and the Most Squashed Shell Sets a Floor under the Share of W},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1105},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 974099・974103・974104 に記録されました（2026年11月01日 16:30（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

閉じた 4 次元の空間では、曲がりの総量はオイラー数 χ だけで決まる。チャーン＝ガウス＝ボネの式は ∫Q＋∫‖W‖²＝8π²χ で、Q はスカラー曲率と跡のないリッチ曲率から作る量、W はワイル曲率である。計量を動かしても総量は動かず、動くのは W が持つ割合 f だけである。丸い S⁴ では f＝0 で、Q が 16π² をすべて持つ。チャン、ガースキー、ヤン（2003）の定理は f で言い直すと短い。山辺定数が正で Q が W に勝つなら（f＜1/2）、空間は S⁴ か RP⁴ に限られる。

本稿は、この取り分がどう決まるかを、S³ の皮を重ねた計量で一から計算した。ホップの繊維と底の比 v を共形の時間 t の関数と見ると、W⁺ と W⁻ は v だけで書け、皮の大きさは式から消える。S⁴ の共形類は一本の道 v(t) になる。

総量は皮の閉じ方で決まる。点で閉じる端が 8π²、面で閉じる端が 16π² を持ち、首は何も持たない。W⁺ と W⁻ の差は全微分なので、どの皮についても f≧(1−v²)²＋2(dv/dt)² が成り立つ。いちばん歪んだ皮一枚が、W の取り分の床を決める。床にちょうど乗る道は陽に書けて、ペダーセンの自己双対アインシュタイン球を二つ背中合わせにした形である。f＜1/2 ならどの皮の比も 0.5412 と 1.3066 の間にあるが、壁の向こうも本物の S⁴ で、スカラー曲率が正のまま f を 1 より大きくできる（首の比 0.5、長さ 6 で f＝1.125）。壁は片側にしかない。点で閉じる端は、止まる計量（バッハ平坦）を W⁺ か W⁻ の片方が消えるものに縛り、この族の S⁴ で止まるのは丸い計量に共形なものだけである。別の計量が止まれるのは面で閉じる端を持つ空間で、そこにペイジの計量（f＝0.68155171）と、中央の皮で W が消える枝がある。分離子は、皮が点で閉じるか面で閉じるかである。

床の式は、ヒッチンのスペクトルから独立に数えた η 不変量と比 0.99996 以上で合った。総量の式は、丸い S⁴、フビニ＝スタディ、エグチ＝ハンソン、タウブ＝NUT、ペイジの既知の値をすべて再現した。

キーワード：曲がりの総量、ワイル曲率、Q 曲率、4 次元ポアンカレ予想、ホップファイブレーション、η 不変量、山辺定数、分離子

Abstract

On a closed four-dimensional space the total of the curvature is fixed by the Euler number χ alone. The Chern–Gauss–Bonnet formula reads ∫Q + ∫‖W‖² = 8π²χ, where Q is built from the scalar and trace-free Ricci curvature and W is the Weyl curvature. Moving the metric does not move the total; only the fraction f held by W moves. On the round S⁴, f = 0 and Q holds the whole 16π². The theorem of Chang, Gursky and Yang (2003) is short when written with f: if the Yamabe constant is positive and Q beats W (f < 1/2), the space is S⁴ or RP⁴.

This paper computes from scratch how that share is decided, on metrics made of stacked S³ shells. Regarding the ratio v of the Hopf fibre to its base as a function of the conformal time t, W⁺ and W⁻ are written by v alone and the size of the shell disappears from the formula. A conformal class on S⁴ becomes a single path v(t).

The total is decided by how the shells close. A point cap holds 8π², a surface cap holds 16π², and a neck holds nothing. The difference of W⁺ and W⁻ is an exact derivative, so f ≥ (1−v²)² + 2(dv/dt)² for every shell: the most squashed shell sets the floor under the share of W. The paths exactly on the floor are explicit and are two Pedersen self-dual Einstein balls placed back to back. If f < 1/2, every shell ratio lies between 0.5412 and 1.3066, yet beyond the wall the space is still the true S⁴, and f can exceed 1 with positive scalar curvature (neck ratio 0.5, length 6, f = 1.125). The wall has only one side. A point cap binds a stationary (Bach-flat) metric to the vanishing of W⁺ or of W⁻, so in the family the only stationary metrics on S⁴ are those conformal to the round one. Other stationary metrics open only on spaces with surface caps: the Page metric (f = 0.68155171), and a branch on which W vanishes at the central shell. The separator is whether a shell closes at a point or on a surface.

The floor formula agrees, with ratio at least 0.99996, with an eta invariant counted independently from Hitchin’s spectrum. The total reproduces every known value for the round S⁴, Fubini–Study, Eguchi–Hanson, Taub–NUT and Page.

Keywords: total curvature, Weyl curvature, Q-curvature, four-dimensional Poincaré conjecture, Hopf fibration, eta invariant, Yamabe constant, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1105/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1105 はいつも最新の版を指します）。

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