YOI 1106：物理の無限大は、質量ではなく、薄まる速さと次元の比べ合いで決まる

論文1106 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1106 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1106,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Physical Infinity Is Set by How Fast Things Thin Out against the Dimension, Not by the Mass},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1106},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月3日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

濃さが中心からの距離の n 乗に反比例して薄まるとき、d 次元の空間で同じ厚さの殻一枚が持つ量は、半径の d−1−n 乗に比例する。足し合わせが中心で有限なのは n が d より小さいとき、外で有限なのは n が d より大きいときで、n＝d ではどちらの端でも対数で増える。打ち切りを縮めたときの増え方は指数 d−n で決まり、場の量子論が発散の次数を数える冪勘定と同じ数え方である。この数え方には、全体にかかる係数の入る場所が無い。

全体にかかる係数を替えても、有限か無限かは替わらない。3 次元で n＝4 の和は、係数が 1 でも 4π でも 1000 でも、打ち切りを 100 分の 1 にすると 100.00990099 倍になった。E＝γmc² の m に 4π を置いても、エネルギーの比は 4π のままで、γ は v＝0.999999 で 707.106958 になる。一様な球の重力の自分のエネルギーに m＝4π を置くと、粒の数を止めた比べ方では値が (4π)² 倍になるだけで、半径を 10 分の 1 にすると m＝1 と同じく 10 倍になる。m＝4π は無限大を一つも消さない。

物理で有名な十の無限大を、(d, n, あふれる端) の地図に置いた。点の電荷と点の質量の場のエネルギーは d＝3・n＝4 で中心へ 1/a、特異等温球の質量と夜空の明るさは n＝2 で外へ R、平面の渦と直線の電流は境目にいて両端で対数、真空の零点エネルギーは波数の外へ Λ⁴、ヒッグスの質量の補正は 4 次元の波数の外へ Λ² で増える。

位置の空間の中心であふれる無限大は、波数の空間では外であふれる。二乗の量の指数は 2d からその指数を引いた数へ移り、地図の上では境目 n＝d について折り返す。幅 σ でぼかした電荷の自分のエネルギーは、二つの空間の数値積分と閉じた形 1/(2√π σ) が、相対差 10⁻¹² の内で一致した。次元正則化は、地図の上で d を有限の側へずらして値を出し、それを延ばす操作であり、1/(k²+1) を d 次元で足した積分は d＝3 で −2π² になり、d＝2 と 4 に極を持つ。分離子は、全体にかかる係数か、殻一枚の重みの指数か、である。

キーワード：無限大、発散の次数、冪勘定、次元正則化、自己エネルギー、全体の係数、分離子

Abstract

When a density thins out as the inverse n-th power of the distance from the center, the amount held by one shell of fixed thickness in d-dimensional space is proportional to the radius to the power d−1−n. The sum is finite at the center when n is smaller than d, finite outside when n is larger than d, and at n = d it grows logarithmically at both ends. How fast it grows as the cutoff is shrunk is set by the exponent d−n, the same count as the power counting by which quantum field theory finds the degree of divergence. This count has no place for an overall factor.

Changing the overall factor does not turn finite into infinite or back. In three dimensions the sum with n = 4 grew by a factor of 100.00990099 when the cutoff was cut to 1/100, whether the factor was 1, 4π or 1000. Putting 4π for m in E = γmc² keeps the ratio of the energies at 4π, while γ reaches 707.106958 at v = 0.999999. Putting m = 4π into the gravitational self-energy of a uniform ball, with the number of particles held fixed, multiplies the value by (4π)² and nothing more; shrinking the radius to 1/10 still multiplies it by 10, as with m = 1. Setting m = 4π removes not a single infinity.

Ten well-known infinities of physics are placed on a map of (d, n, the overflowing end). The field energies of a point charge and a point mass have d = 3, n = 4 and grow as 1/a toward the center; the mass of the singular isothermal sphere and the brightness of the night sky have n = 2 and grow as R outward; a planar vortex and a straight current sit on the border with logarithms at both ends; the zero-point energy of the vacuum grows as Λ⁴ outward in wavenumber, and the Higgs mass correction as Λ² outward in four-dimensional wavenumber.

An infinity that overflows at the center in position space overflows outside in wavenumber space. The exponent of a squared quantity moves to 2d minus itself, and on the map the point is reflected across the border n = d. For a charge smeared with width σ, numerical integrals in both spaces and the closed form 1/(2√π σ) agreed within a relative difference of 10⁻¹². Dimensional regularization moves d on the map to the finite side, takes the value there and continues it: the integral of 1/(k²+1) over d dimensions is −2π² at d = 3 and has poles at d = 2 and 4. The separator is whether a number is an overall factor or the exponent of the weight of one shell.

Keywords: infinity, degree of divergence, power counting, dimensional regularization, self-energy, overall factor, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1106/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1106 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ