YOI 1110：メタンの 109.47 度は、力の法則を取り替えても動かない数え方の角であり、水の角は、まわりの四つが等しくないぶんだけそこからずれる

PDF（このページと同じ場所に置いた写し・倉庫の原本と同じファイル）：yamagishi_yoi1110_v1_jp.pdf

論文1110 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1110 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1110,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Methane's 109.47 Degrees Is an Angle of Counting That Does Not Move When the Force Law Is Changed, and Water's Angle Departs from It as Far as Its Four Neighbours Are Unequal},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1110},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月4日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

メタンの四本の結合は正四面体の頂点を向き、その角は arccos(−1/3)＝109.4712206 度である。水は 104.4776 度、アンモニアは 106.67 度と、それより狭い。本稿は、角のどこまでが力の法則の外のもので決まり、どこからが席や部品の違いで決まるかを、力の法則を取り替えて角が動くかどうかという一つの検査で分ける。和が 0 の等しい向き N 本の角は cos θ＝−1/(N−1) で、内積の行列の階数が N−1 なので、三次元に入るのは N≦4 である。s の部屋一つと p の部屋 n 個を n＋1 個の等しい部屋に混ぜると、角は cos θ＝−1/n で、同じ数え方になる。球面の点を距離の冪のエネルギー（距離の s 乗に反比例し、力は s＋1 乗に反比例する）で押し合わせ、s を 0.5 から 40 まで動かすと、2・3・4・6・12 個の形（向かい合う二点・正三角形・正四面体・正八面体・正二十面体）は一つも動かず、5 個だけが s＝15.048077 で三角両錐から四角錐に替わった（Schwartz の S＝15.048... と、示された桁で一致する）。2・3・4 個は等しい向きの数え方で、6・12 個はどの点も同じ立場にある対称な形で決まり、5 個は三次元で等しい角に置けないので二種類の席ができる。電荷の違う点を混ぜると、角は 109.4712206 度から外れ、外れ方は電荷の比と s の両方で動く。ただし、同じ電荷の二組が直交する二つの面に向かい合って釣り合う形では、強さが電荷の積で書ける冪の力なら、どの s と電荷でも、同じ電荷どうしの距離の積が違う電荷の間の距離の二乗に等しく、s と電荷は曲線の上の位置だけを決める。水の 104.4776 度に電荷の比を合わせると、比は s で 1.245468 から 1.757134 まで動くのに、残りの二点の角はどの s でも 114.6236 度で、同じ比で一点と三点にした角は 106.7364 度から 106.8303 度と、アンモニアの 106.67 度より 0.07 度から 0.16 度大きい。

実際の角（NIST の表）から、二つの部屋の直交の条件で p の重み λ² を読むと、水 3.99998（不確かさの内で 3.99946 から 4.00049）、アンモニア 3.486、ホスフィン 17.37、硫化水素 27.16 で、整数に並ばない。水の 104.4776 度（不確かさ 0.0019 度）は arccos(−1/4)＝104.4775122 度と 0.0000878 度しか違わないが、arccos(−1/4) は五本の等しい向きを四次元以上に置いたときの角で、水の部屋は三次元に四つあり、結ぶ二つと結ばない二つの重みが違う。数は一致しているが、根は同じでない。次元 d を動かすと、正単体の中心角は arccos(−1/d) である。論文1102 は 109.4712206 度を正八面体の二面角と同じ根とした。正八面体を正四面体の切り詰めた形として広げると、違う種類の隣り合う面の二面角はどの d でも arccos(−1/d) で、同じ根はどの次元でも残る（d＝3 から 8 で組んで測った差は 10⁻¹³ より小さい）。交差多面体として広げると二面角は arccos(−(d−2)/d) で、重なるのは d＝3 だけである。次元を動かす検査は、どの族に広げるかを決めて初めて答えが出る。分離子は、力の法則を取り替えると角が動くかどうか、である。動かなければ力の法則の外のもの（数え方か対称性）が角を決め、動けば席や部品の違いと力の法則が決める。

キーワード：結合角、混成軌道、正四面体、トムソン問題、普遍最適、次元、別根、分離子

Abstract

The four bonds of methane point to the vertices of a regular tetrahedron, at an angle arccos(−1/3) = 109.4712206 degrees. Water, at 104.4776 degrees, and ammonia, at 106.67 degrees, are narrower. This paper separates how much of an angle is fixed by something outside the force law and how much by unequal seats or parts, with one test: change the force law and see whether the angle moves. N equal directions summing to zero meet at cos θ = −1/(N−1); the matrix of their inner products has rank N−1, so at most N = 4 fit in three dimensions. Mixing one s room and n p rooms into n+1 equal rooms gives cos θ = −1/n, the same counting. Pushing points on a sphere apart with a power-law energy (inversely proportional to the s-th power of the distance, the force to the (s+1)-th) and moving s from 0.5 to 40, the shapes of 2, 3, 4, 6 and 12 points (two opposite points, an equilateral triangle, a regular tetrahedron, a regular octahedron and a regular icosahedron) do not move at all, and only 5 points change from a triangular bipyramid to a square pyramid at s = 15.048077 (agreeing with Schwartz’s S = 15.048... to the digits shown). 2, 3 and 4 points are fixed by counting equal directions, 6 and 12 points by a symmetric shape in which every point stands alike, and 5 points cannot be placed at equal angles in three dimensions, so two kinds of seats appear. Mixing points of unequal charge moves the angle off 109.4712206 degrees, and how far depends on both the charge ratio and s. For a balanced shape in which two pairs of like charges face each other in two perpendicular planes, however, any power law whose strength is the product of the charges, with any s and any charge, makes the product of the distances between like charges equal the square of the distance between unlike charges; s and the charge decide only the position on that curve. Matching the charge ratio to water’s 104.4776 degrees, the ratio moves with s from 1.245468 to 1.757134, while the angle between the other two points is 114.6236 degrees for every s, and with the same ratio one point and three points give angles from 106.7364 to 106.8303 degrees, 0.07 to 0.16 degrees above the 106.67 degrees of ammonia.

Reading the p weight λ² from the measured angles (NIST tables) through the orthogonality of two rooms gives 3.99998 for water (3.99946 to 4.00049 within the uncertainty), 3.486 for ammonia, 17.37 for phosphine and 27.16 for hydrogen sulfide, which do not line up on integers. Water’s 104.4776 degrees (uncertainty 0.0019 degrees) differs from arccos(−1/4) = 104.4775122 degrees by only 0.0000878 degrees, but arccos(−1/4) is the angle of five equal directions in four or more dimensions, while water has four rooms in three dimensions, the two bonding rooms weighted differently from the two non-bonding ones. The numbers agree, but the roots are not the same. Moving the dimension d, the centre angle of the regular simplex is arccos(−1/d). Paper 1102 put 109.4712206 degrees at the same root as the dihedral angle of the octahedron. Extending the octahedron as the rectified tetrahedron, the dihedral angle between adjacent faces of different kinds is arccos(−1/d) for every d, and the same root survives in every dimension (built and measured for d = 3 to 8, the difference is below 10⁻¹³). Extending it as a cross polytope, the dihedral angle is arccos(−(d−2)/d), and they coincide only at d = 3. The test of moving the dimension gives an answer only once the family to extend into is chosen. The separator is whether the angle moves when the force law is changed. If it does not move, something outside the force law (counting or symmetry) fixes the angle; if it moves, unequal seats or parts and the force law fix it.

Keywords: bond angle, hybrid orbital, regular tetrahedron, Thomson problem, universal optimality, dimension, separate roots, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1110/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1110 はいつも最新の版を指します）。

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