YOI 1111：1/r² は、静かな場では中身を外から隠し、波ではこだまを形を変えずに運ぶ

論文1111 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1111 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1111,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Inverse Square Hides the Interior from a Static Field and Carries the Echo of a Wave Undistorted},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1111},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月4日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

論文1107 は、二階の局所の方程式に従う場では、閉じた皮の外から読める中身が角度の型ごとに一つの数であることを数えた。重力や電気の 1/r² の場はその代表で、中身の外には湧き出しが無く、閉じた面を通る量は形によらず中の量の 4π 倍になる。この 4π は場の質量が 0 であることから来て、外へ出るのが型ごとに一つであることとは根が違う（論文1107）。本稿は同じ勘定を、周波数の帯と、送る点を足した二点の測り方へ広げ、神戸大学の木村建次郎らの散乱場の理論（送る点と受ける点の両方を動かして測り、二点の関数が満たす方程式を解いて中を映す）と、唯一性定理（論文01）の 1/r² を、一つの表に載せる。

送る点を持たずに受けるだけで測る限り、外へ出るのは、静かな場でも一つの周波数でも、型ごとに一つの数だった（一つの周波数で 1 個であることは、論文1107 もヘルムホルツの核で数えている）。外の 30 の半径での場を核の数値積分で作ると、16 通りで二番目の特異値は最大の 2.24×10⁻¹⁴ 倍以下だった。一つの周波数で遠くへ届くのは、中身のフーリエ変換の半径 k の球面の上の値である。見えない入れ替えは (Δ＋k0²)φ の形で、周波数 k0 では外へ出ず、ほかの周波数では (k0²−k²) 倍の重みで外へ出る。論文1107 の Δφ は k0＝0、湯川の場の入れ替えは虚数の k0 にあたる。φ そのものが外へ出ない周波数（φ＝(1−r²)³ では 8.182561）では、同じ φ から作るどの (Δ＋k0²)φ も見えない。有限個の周波数で測るだけなら、それらを掛け合わせた形の入れ替えが見えないまま残るが、周波数を区間で動かすと、見えない入れ替えは 0 しかない。

受けるだけで周波数を帯で動かすと、読める数は帯の上端が π 増えるごとにおよそ一つずつ増え、崖ではなくなだらかに細る（型 0 で最大の 10⁻⁶ 倍を超える数は、上端 5・10・20・40・80 で 5・7・11・18・31）。送る点を足して二点で測っても同じことが起きる。送る点と受ける点を半径 1.5 の皮の上で動かし、波を一度だけ跳ね返す球対称の中身で数えると、一つの周波数 k＝5・10・20 で 8・11・18 個が読め、受けるだけで帯 [0, 2k] を測った 7・11・18 個とほぼ同じだった。遠方では、二点の量が受けるだけの帯 [0, 2k] の量そのものになるからである。静かな二点でも 5 個読めるが、特異値の落ち方は速い。

木村らは、二点の関数としての散乱場が満たす方程式（講究録の式 (2-5)）を、短い波長の近似として導いた。本稿の検算では、送る点と受ける点が座標 x だけを共有するこの (2-5) は、一回の跳ね返りの核に対して近似なしに成り立った。作用素は、往きと帰りの二つの波の分散の関係から、二つに分けた横の波数を消した式で、地震探査の二重平方根の式と同じく、往きと帰りがそれぞれ自由に伝わることの上に立つ。40 桁の計算で残りは項の大きさの 10⁻⁴¹ より小さく、周波数をずらした積や静かな核の積では 0.148 から 1.000 だった。近似が働くのは、測った一つの面に合わせて送る点と受ける点の深さをそろえる段（式 (2-13)・(2-14)）で、そこでは往きと帰りの波数が平行になる停留位相の点が選ばれる。式に散乱点の強さが入らないので、測った値だけで内側へ解ける。像は、送る点と受ける点が散乱点に重なって時間が 0 に戻る所、つまり何も無い所という式の前提が外れる点にだけ立ち、全部の周波数がそろった極限では一点で尖る。

こだまの側では、1/r² は別の役をする。外向きの球面波の流れが半径によらないことが振幅を 1/r に決め、送る点と受ける点を離すと、一回の跳ね返りの強さは (4π)² と二つの距離の積で割られ、届く時刻は道のりの和になる。同じ時刻に届く回転楕円体の上でも強さは変わり、道のりの和 4・焦点の間 2 の断面の楕円の頂と脇では、強さの二乗が 1.777778 倍違う。振幅が距離の (d−1)/2 乗に反比例する球面波が d 次元で形を変えずに届くための残りは (d−1)(3−d)/4 で、0 になるのは一次元と三次元である。一次元は振幅が弱まらない平面波で、距離とともに弱まりながら形を保つのは、流れを保つ指数 (d−1)/2 とラプラスの解の指数 d−2 が重なる三次元だけである。5 次元では、距離 10 で届く形と出した形の相関は 0.688416 で、遠くでは 0.606531 に近づく。

分離子は、外で測る量が皮の上の関数一つに収まるかどうか、である。収まれば、外へ出るのは型ごとに一つの数で崖のように止まり、周波数の帯か送る点で皮の次元を越えると、数はなだらかに増えて中身へ届く。1/r² の場は、静かな場では中身を外から隠す場の代表であり、波では往きと帰りのこだまを、三次元でだけ形を変えずに運ぶ。木村らの方法が中を読めるのは、二点で測る量が皮の次元を越えるからで、三次元で形が保たれることは、届いた時刻を道のりとして読む像の作り方を素直にする。

キーワード：源の逆問題、散乱の逆問題、外へ出ない源、多周波数、回折トモグラフィー、ホイヘンスの原理、球面波、分離子

Abstract

Paper 1107 counted that, for a field obeying a local equation of second order, the interior can be read from outside a closed skin only as one number per angular pattern. The inverse-square field of gravity or electricity is the representative case: there is no source outside the interior, and the flux through any closed surface, whatever its shape, is 4π times the amount inside. This 4π comes from the field being massless, and its root differs from that of one number per pattern (Paper 1107). This paper extends the same count to frequency bands and to measurements with a sending point added, and puts on one table the scattering-field theory of Kenjiro Kimura and colleagues at Kobe University (measure while moving both the point that sends and the point that receives, and image the interior by solving the equation that the function of the two points obeys) and the inverse square of the uniqueness theorem (Paper 01).

When we measure by receiving only, with no point that sends, what goes outside is one number per pattern, for a static field and for one frequency alike (that it is one at a single frequency was also counted for the Helmholtz kernel in Paper 1107). Building the field at 30 outside radii by numerically integrating the kernel, the second singular value was at most 2.24×10⁻¹⁴ of the largest in all 16 cases. What reaches far away at one frequency is the value of the Fourier transform of the interior on the sphere of radius k. The invisible rearrangement has the form (Δ + k0²)φ: at frequency k0 it sends nothing out, and at other frequencies it does, weighted by (k0² − k²). The Δφ of Paper 1107 is k0 = 0, and the rearrangement of the Yukawa field corresponds to an imaginary k0. At a frequency where φ itself sends nothing out (8.182561 for φ = (1 − r²)³), every (Δ + k0²)φ built from the same φ is invisible. If one measures only at finitely many frequencies, a rearrangement of the multiplied form stays invisible at all of them, but once the frequency is moved over an interval, the only invisible rearrangement is zero.

Receiving only and moving the frequency over a band, the number that can be read grows by about one each time the top of the band grows by π, and thins out gradually rather than at a cliff (for pattern 0, the numbers above 10⁻⁶ of the largest are 5, 7, 11, 18 and 31 for tops 5, 10, 20, 40 and 80). Adding a sending point does the same. Moving the point that sends and the point that receives on a skin of radius 1.5, with a spherically symmetric interior that bounces the wave once, one frequency k = 5, 10 and 20 reads 8, 11 and 18 numbers, nearly the 7, 11 and 18 read by receiving only over the band [0, 2k]. The reason is that in the far field the quantity measured with two points becomes exactly the quantity measured by receiving only over the band [0, 2k]. Two static points read 5 numbers, but their singular values fall fast.

Kimura and colleagues derived the equation that the scattering field obeys as a function of two points (equation (2-5) of the Kokyuroku paper) as an approximation for short wavelengths. In our check, this (2-5), in which the points that send and receive share only the coordinate x, holds without approximation for the single-scattering kernel. The operator is the formula that eliminates the split transverse wavenumbers from the dispersion relations of the outgoing and returning waves; like the double-square-root equation of seismic exploration, it rests on each leg travelling freely. At 40 digits the remainder is below 10⁻⁴¹ of the size of the terms, while for a product with a shifted frequency or a product of static kernels it is 0.148 to 1.000. The approximation works at the step that brings the depths of the sending and receiving points together to fit one measured surface (equations (2-13) and (2-14)), where the stationary-phase point, at which the wavenumbers of the two legs are parallel, is chosen. Since the strength of the scatterers does not enter the equation, it can be solved inwards from the measured values alone. The image stands only where the points that send and receive meet a scatterer and the time returns to zero, that is, where the premise of the equation, an empty region, no longer holds; in the limit where all frequencies are present it is sharp at one point.

On the side of the echo, the inverse square plays another role. That the flow of an outgoing spherical wave does not depend on the radius fixes the amplitude at 1/r, and when the point that sends and the point that receives are separated, the strength of one bounce is divided by (4π)² and the product of the two distances, and the arrival time is the sum of the paths. Even on a spheroid of equal arrival time the strength changes: at the vertex and the co-vertex of its cross-sectional ellipse with path sum 4 and foci 2 apart, the squared strengths differ by a factor of 1.777778. For a spherical wave whose amplitude falls as the (d − 1)/2 power of the distance to arrive undistorted in d dimensions, the remainder is (d − 1)(3 − d)/4, which vanishes in one and three dimensions. One dimension is a plane wave whose amplitude does not weaken; a wave that weakens with distance while keeping its shape exists only in three dimensions, where the flux-keeping exponent (d − 1)/2 and the Laplace exponent d − 2 meet. In five dimensions the correlation between the arriving shape and the emitted shape at distance 10 is 0.688416, approaching 0.606531 far away.

The separator is whether what is measured outside fits into one function on the skin. If it fits, what goes outside is one number per pattern and stops as at a cliff; once a frequency band or a sending point carries the measurement beyond the dimension of the skin, the numbers grow gradually and reach the interior. The inverse-square field is the representative of fields that hide the interior from outside when static, and for a wave it carries the echo there and back undistorted, only in three dimensions. The method of Kimura and colleagues can read the interior because what it measures with two points exceeds the dimension of the skin; that three dimensions keep the shape makes the reading of arrival times as paths straightforward.

Keywords: inverse source problem, inverse scattering problem, nonradiating source, multi-frequency data, diffraction tomography, Huygens principle, spherical wave, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第2版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1111/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1111 はいつも最新の版を指します）。

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