YOI 1113：質量欠損の向きは中に残るエネルギーの符号で決まり、1/r² の球の重力のエネルギーはちょうど −GM²/R

論文1113 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1113 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1113,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Mass Defect Follows the Sign of the Energy Left Inside, and the Gravitational Energy of a 1/r² Ball Is Exactly −GM²/R},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1113},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月5日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

粘土の塊を二つくっつけると、数えれば一つ、量れば二つ分になる。止まった二つをそっとくっつけ、そのとき出た熱が外へ逃げれば、厳密に量った全体はその熱の分だけ二つ分より軽い。まとまった全体を止めたときの質量から、部品をばらばらにして止めたときの質量の和を引き、c² 倍したものは、全体の中に残っているエネルギーである。本稿はこの差の向きと大きさを、原子・原子核・陽子・光・重力で一本の軸に並べる。

原子核と原子では、全体は部品の和より軽い。AME2020 で測られた 2548 個の原子核は、どれもそうである。CODATA 2022 の値で、重陽子は 0.118464 パーセント、アルファ粒子は 0.753409 パーセント軽く、水素原子は部品の和の 1.4485×10⁻⁸ だけ軽い。一核子あたりの結合エネルギーはニッケル62 の 8794.5555 keV がいちばん大きく、鉄58 と鉄56 が続き、ニッケル62 は部品の和よりおよそ 0.937 パーセント軽い。逆に、論文286 の陽子の全体は、規約で決めたクォークの静止質量の和 8.99 MeV の 104.37 倍あり、論文240・241 の光子二個は、質量 0 の部品から、開き角しだいで 2E/c²（E は光子一つのエネルギー）まで重くなる。向きを決めるのは中に残るエネルギーの符号である。

論文01・02 の密度 r⁻ⁿ の球の重力の位置のエネルギーは −α(n)·GM²/R で、係数は α(n)＝(3−n)/(5−2n) である。一様な球の 3/5（論文30・165）から始まり、ちょうど 1 になるのは n＝2 だけで、そのとき −GM²/R になる。まとまるときに出たエネルギーがすべて外へ出れば、全体は部品の和より α(n)·GM²/(Rc²) だけ軽い。自分の気体の圧力で支えられた球では、ビリアルの釣り合いで出たエネルギーの半分が熱として中に残り、全体が軽くなるのは外へ出たもう半分だけである。論文497 の 3/10 は、一様な球で外へ出るその半分である。質量は n＜3 で有限（論文02）なのに、位置のエネルギーは n＜5/2 でしか有限でない。場のエネルギーの外側の取り分は (5−2n)/(6−2n) で、一様な球の 5/6（論文1106）から n＝2 でちょうど半分になる。同じ符号の電荷を同じ形に押さえて置くと、同じ係数で全体が重くなる。

名の似た量と、近い数を分ける。原子の質量の表の質量超過（M−A·u）は炭素12 で 0、ヘリウム4 で正、鉄56 で負になるが、質量欠損はどれも正で、比べる相手が違う。重陽子ができるとき減る静止質量 2.22456637 MeV は、出ていく光 2.223248712 MeV とはね返り 1.31766 keV に分かれる（論文911）。論文497 の 0.007 は水素の原子四つからの 0.711852 パーセントで、ばらばらの陽子と中性子からの 0.753409 パーセントとは、作る元と分母が違う。

分離子は、差が外へ出ていった結合のエネルギーか、中に閉じ込められた場と運動のエネルギーか、である。論文16 の六つの根で言えば、「全体の質量＝部品の質量の和」は恒等式ではなく経験的法則の等号で、しかも近似でしか成り立たない。外れは水素原子で 10⁻⁸ の桁、原子核で 10⁻³ から 10⁻² の桁で、陽子では向きが逆で百倍を超える。

キーワード：質量欠損、結合エネルギー、不変質量、原子核の質量、自己重力、密度の指数、質量超過、分離子

Abstract

Stick two lumps of clay together: counted, they make one; weighed, they make two lumps’ worth. If the two are brought together gently from rest and the heat given off escapes, the whole, weighed exactly, is lighter than two lumps’ worth by that heat. The mass of the whole at rest minus the sum of the masses of the parts, each taken apart and at rest, times c², is the energy left inside the whole. This paper lays out the direction and the size of this difference for atoms, nuclei, the proton, light and gravity along a single axis.

In nuclei and atoms the whole is lighter than the sum of its parts; every one of the 2548 nuclei measured in AME2020 is. With the CODATA 2022 values the deuteron is 0.118464 percent and the alpha particle 0.753409 percent lighter, and the hydrogen atom is lighter by 1.4485×10⁻⁸ of the sum of its parts. The binding energy per nucleon is largest for nickel-62 at 8794.5555 keV, followed by iron-58 and iron-56, and nickel-62 is about 0.937 percent lighter than its parts. Conversely, the proton of Paper 286 is 104.37 times as heavy as the conventional sum of its quark rest masses, 8.99 MeV, and the two photons of Paper 240 and Paper 241 become as heavy as 2E/c² (E being the energy of one photon) from parts of mass 0, depending on the opening angle. What sets the direction is the sign of the energy left inside.

The gravitational potential energy of a ball of density r⁻ⁿ as in Paper 01 and Paper 02 is −α(n)·GM²/R, with coefficient α(n) = (3−n)/(5−2n). Starting from the 3/5 of a uniform ball (Paper 30 and Paper 165), it equals exactly 1 only at n = 2, where the energy is −GM²/R. If all the energy released in coming together goes out, the whole is lighter than the sum of its parts by α(n)·GM²/(Rc²). In a ball held up by the pressure of its own gas, the virial balance keeps half of the released energy inside as heat, and the whole is lighter only by the other half, the one that goes out; the 3/10 of Paper 497 is that outgoing half for a uniform ball. The mass is finite for n < 3 (Paper 02), while the potential energy is finite only for n < 5/2. The outside share of the field energy is (5−2n)/(6−2n), going from the 5/6 of a uniform ball (Paper 1106) to exactly one half at n = 2. Charges of one sign held in the same shape make the whole heavier by the same coefficient.

Quantities with similar names and numbers that lie close are told apart. The mass excess (M−A·u) of the atomic mass table is 0 for carbon-12, positive for helium-4 and negative for iron-56, but the mass defect is positive for all of them; they are compared with different references. When a deuteron forms, the 2.22456637 MeV of rest mass that is lost splits into 2.223248712 MeV of outgoing light and 1.31766 keV of recoil (Paper 911). The 0.007 of Paper 497 is the 0.711852 percent from four hydrogen atoms, which differs in starting material and denominator from the 0.753409 percent from separate protons and neutrons.

The separator is whether the difference is binding energy that went out or field and motion energy confined inside. In terms of the six roots of Paper 16, "the mass of the whole equals the sum of the masses of the parts" is not an identity but the equality of an empirical law, and moreover holds only approximately. It misses by the order of 10⁻⁸ for the hydrogen atom and by 10⁻³ to 10⁻² for nuclei, and for the proton it misses in the opposite direction by more than a factor of a hundred.

Keywords: mass defect, binding energy, invariant mass, nuclear mass, self-gravity, density exponent, mass excess, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1113/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1113 はいつも最新の版を指します）。

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