YOI 1114：m＝4π は半径 1 の皮を濃さ 1 で塗った重さで、1/r² の球はその皮を均等にふくらませたもの

論文1114 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1114 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1114,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {m = 4π Is the Mass of a Skin of Radius 1 at Density 1, and the 1/r² Ball Is That Skin Puffed Out Evenly},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1114},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月6日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 974769・974770 に記録されました（2026年11月06日 15:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

半径 1 の球の皮に、どこも同じ濃さで重さを塗る。濃さを 1 にすると、皮の重さは皮の面積と同じ 4π になる。論文02 は、密度が 1/r² の半径 1 の球の重さが、全立体角と同じ数 4π になることを示した。本稿は、この二つが外から見て同じ物であること、そして 1/r² の球が、その皮を半径の向きに均等に（半径の幅あたり同じ重さで）ふくらませたものであることを、数で確かめる。単位は重力の定数を 1、半径を 1 にそろえ、点・皮・球を比べるときは全体の重さを 4π にそろえる（論文02 の表と体積復元を見る所だけは、論文02 の置き方の、半径 1 での密度を 1 とする）。

密度 r⁻ⁿ の半径 1 の球を、外の場を変えずに皮の上へ移す（掃き出す）と、皮の濃さはどこでも 1/(3−n) になる。半径 1 の単位では、これは論文02 が「4π の重なり枚数」と呼んだ数と同じで、n＝2 でちょうど 1、一様な球（n＝0）で 1/3 になる。論文02 の階段 2π・4π・8π は、皮の濃さで言えば 1/2・1・2 である。1/r² の球を内側から半径 r までの殻だけ掃き出すと皮の濃さは r に、一様な球（密度 3）では r³ になる。

皮ごとの重さ（半径の幅あたりの重さ）がどの半径でも同じになるのは n＝2 だけである（論文01）。このとき重さの半分は半径 1/2 の内側にあり、平均の半径（重さで平均した半径）も 1/2 になる。一様な球ではそれぞれ 0.7937005 と 0.75、点では 0、皮では 1 で、1/r² の球はその間を均等に埋める。

重さ 4π の点・濃さ 1 の皮・1/r² の球・一様な球の場を比べた。点は式のまま、ほかの三つは場の核を数値で積分し、球殻定理の答えは使わない。外の三点では四つの場が 4π/r² と 7.89×10⁻³¹ の内で一致し、中では 4π/r²・0・4π/r・4πr と分かれた。まとまるときの重力の位置のエネルギーは、皮で −8π²、一様な球で −48π²/5、1/r² の球で −16π² になり、論文1113 の係数の、n→−∞・0・2 での値 1/2・3/5・1 に当たる。外側の場のエネルギーは四つとも同じ −8π² で、違いはすべて皮の内側にある。1/r² の球のエネルギーは、皮のちょうど 2 倍である。

外から読めるのは全体の重さ一つで、中の満たし方はそこに書かれていない。同じ部品から作り、まとまるときに出たエネルギーがすべて外へ出たとすると、出るエネルギーが違うので、弱い重力の見積もりで 1/r² の球は皮より Gm²/(2Rc²) だけ軽い。部品の和 m と半径 R を別に知っていれば、外から読める全体の重さから、係数という数が一つ読める。論文12 の体積復元の 4π/3 は、論文02 の置き方（半径 1 での密度を 1）での一様な球（n＝0）の重さと同じ数で、皮の濃さに直すと 1/3 である。同じ置き方で m＝4π は n＝2 の重さで、濃さは 1 である。分離子は、外の場を見るか、中の場とまとまるときのエネルギーを見るか、である。

キーワード：4π、球殻定理、掃き出し、唯一性定理、自己重力、体積復元、密度の指数、分離子

Abstract

Paint mass on the skin of a sphere of radius 1, with the same density everywhere. At density 1 the skin’s mass equals its area, 4π. Paper 02 showed that a ball of radius 1 whose density goes as 1/r² has a mass equal in number to the full solid angle, 4π. This paper checks with numbers that the two are the same thing seen from outside, and that the 1/r² ball is that skin puffed out evenly along the radius (the same mass in every width of radius). Units are set so that the gravitational constant is 1 and the radius is 1; when the point, skin and balls are compared the total mass is 4π (only where the table of Paper 02 and the volume restoration are discussed is the normalization of Paper 02, density 1 at radius 1, used).

Moving a ball of radius 1 and density r⁻ⁿ onto its skin without changing the field outside (sweeping it out) gives a skin density of 1/(3−n) everywhere. In units of radius 1 this is the same number that Paper 02 called “the number of 4π layers”: it is 1 at n = 2 and 1/3 for the uniform ball (n = 0). The staircase 2π, 4π, 8π of Paper 02 becomes the skin densities 1/2, 1, 2. Sweeping out only the shells of the 1/r² ball up to radius r gives a skin density of r; for the uniform ball (density 3) it gives r³.

The mass per skin (mass per unit width of radius) is the same at every radius only for n = 2 (Paper 01). Then half the mass lies within radius 1/2, and the mean radius (the radius averaged with the mass) is also 1/2. For the uniform ball these are 0.7937005 and 0.75, for the point 0 and for the skin 1; the 1/r² ball fills the range between them evenly.

The fields of a point, a skin of density 1, a 1/r² ball and a uniform ball, each of mass 4π, were compared: the point by its formula, the other three by integrating the field kernel numerically without using the shell theorem’s answer. At three points outside, the four fields agree with 4π/r² to within 7.89×10⁻³¹; inside they split into 4π/r², 0, 4π/r and 4πr. The gravitational potential energy of coming together is −8π² for the skin, −48π²/5 for the uniform ball and −16π² for the 1/r² ball: the values 1/2, 3/5 and 1 of the coefficient of Paper 1113 at n → −∞, 0 and 2. The field energy outside is the same −8π² for all four, and the whole difference lies inside the skin. The energy the 1/r² ball releases is exactly twice the skin’s.

What can be read from outside is the total mass alone; how the inside is filled is not written there. When a skin and a 1/r² ball are built from the same parts and all the energy released in coming together leaves, the energy that leaves differs, so in the weak-gravity estimate the 1/r² ball is lighter than the skin by Gm²/(2Rc²). If the sum of the parts m and the radius R are known separately, the total mass read from outside gives one number, the coefficient. The 4π/3 of the volume restoration of Paper 12 is the same number as the mass of the uniform ball (n = 0) in the normalization of Paper 02 (density 1 at radius 1), a skin density of 1/3; in the same normalization m = 4π is the mass for n = 2, a density of 1. The separator is whether one looks at the field outside, or at the field inside and the energy released in coming together.

Keywords: 4π, shell theorem, balayage, uniqueness theorem, self-gravity, volume restoration, density exponent, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1114/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1114 はいつも最新の版を指します）。

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