Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文156 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/156 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22091565）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文156】球殻の内部が平らなのは、平均値定理のせいではない

@misc{yamagishi2026yoi156,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Inside of a Shell Is Not Flat Because of the Mean Value Theorem},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/156},
  doi = {10.5281/zenodo.22091565},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「ニュートンの球殻定理の正体は、ガウスの平均値定理である」という説明が流通している。本稿はその説明に柵を立て、代わりに何が定数を強制しているのかを書く。新しい数学定理は主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。平均値定理は正しく、そして弱すぎる。$\Phi=z$ は調和で、任意の半径の球面上の平均が $0$、中心での値も $0$ である。それでも $\Phi$ は内部で定数ではない（$\Phi(0,0,1)=1$）。平均値の性質はすべての調和関数が持つのだから、それだけで「定数である」という結論に届くはずがない（第2節）。

第二に、実際に効いているのは三つである：調和性、球対称、原点での正則性。$d$ 次元の球対称な調和関数を微分方程式から解くと$A+Br^{2-d}$ の二次元族であり（$d=3,\dots,6$ で確認）、原点での有界性が $B=0$ を強制して、残るのが定数である（第3節）。

第三に、直接計算でも確かめた。調和核 $r^{2-d}$ を使うと、$d=3,4,5$ のいずれでも内部のばらつきは $0.0$、外部は点質量と一致した（最悪差 $3.081\times10^{-33}$）（第4節）。

第四に、分離子は指数である。$d=4$ で核を $r^{-2}$（調和）から $r^{-1}$（三次元から持ち込んだ「逆二乗」）に替えると、内部のばらつきが $0.0$ から $0.1146$ に跳ね上がる。許可証は「$2$ という数」ではなく調和性である（第5節）。

第五に、したがって論文51 の「$n=2$」と論文01 の「$n=d-1$」は、同じ許可証を二通りに述べたものである（第6節）。

Abstract

An explanation is often repeated: that Newton’s shell theorem is really Gauss’s mean value theorem. This paper fences that explanation and writes instead what does force the constant. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, and this is the core. The mean value theorem is true and far too weak. The function $\Phi=z$ is harmonic, its average over a sphere of any radius is $0$ and its value at the centre is $0$、and yet $\Phi$ is not constant inside ($\Phi(0,0,1)=1$). The mean value property belongs to every harmonic function, so it cannot by itself reach the conclusion that one of them is constant (Section 2).

Second, what is actually at work is three things: harmonicity, spherical symmetry, and regularity at the origin. Solving the equation for spherically symmetric harmonic functions in $d$ dimensions gives the two-parameter family $A+Br^{2-d}$ (checked for $d=3,\dots,6$), and boundedness at the origin forces $B=0$, leaving a constant (Section 3).

Third, it was checked by direct computation. With the harmonic kernel $r^{2-d}$, at $d=3,4,5$ alike, the spread across the interior is $0.0$ and the exterior agrees with a point mass (worst difference $3.081\times10^{-33}$) (Section 4).

Fourth, the separator is the exponent. Replacing the kernel at $d=4$ from $r^{-2}$ (harmonic) by $r^{-1}$ (an “inverse square” imported from three dimensions), the interior spread jumps from $0.0$ to $0.1146$、the licence is harmonicity, not the number $2$ (Section 5).

Fifth, it follows that Paper 51’s “$n=2$” and Paper 01’s “$n=d-1$” are one licence stated in two ways (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/156/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/156 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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