Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文163 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/163 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22092677）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文163】「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」は、別の文である

@misc{yamagishi2026yoi163,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“A Good Code Exists” and “Here Is a Good Code” Are Different Sentences},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/163},
  doi = {10.5281/zenodo.22092677},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

体系は「等号の根を書き分けよ」という規律を持ってきた。本稿はその規律を、定理そのものの型に当てる。存在を言う定理と、物を渡す定理は、別の根を持つ。新しい数学定理は主張しない。

第一に、シャノンは符号が在ると言う。二元対称通信路の容量は $C=1-H(p)$ であり、$p=0.01,0.05,0.11,0.25$ でそれぞれ $0.919207$、$0.713603$、$0.500084$、$0.188722$（本稿で計算）。しかしその証明は無作為に引いた符号の平均をとるだけで、符号を一つも名指ししない（第2節）。

第二に、ガロアは一つ渡す。有限体上でリード＝ソロモン符号を自前で組み、バーレカンプ＝ウェルチ復号器まで実装した（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。境界が鋭い。$11$ 元体・$n=8$・$k=3$ の符号は、誤り $0,1,2$ 個をすべて正しく復元し、$3$ 個で復号が存在しなくなる。$t=2$ ちょうどで線が引かれる（本稿で計算）。しかも復号器は主張ではなく算法である（第4節）。

第四に、構成は最適でもある。シングルトン限界 $d\le n-k+1=6$ に対し、リード＝ソロモンの最小距離は $6$（$1331$ 語を全数走査）。一方、無作為な線形符号 $40$ 個の最小距離は $4$ か $5$ で、限界に届いたものは $0$ 個であった（第5節）。

第五に、ブレーキ。構成は、存在定理が負っていない制約を負う。$q$ 元体が存在するのは $q$ が素数冪のときだけであり、$q=6,10,12,14,\dots$ には体が無い。六文字のアルファベット上のリード＝ソロモン符号は存在しない。シャノンの容量はどんなアルファベットにも定義されるのに（第6節）。

Abstract

The corpus has carried the discipline of writing down which root an equals sign has. This paper applies that discipline to the form of a theorem itself、a theorem that asserts existence and a theorem that hands over an object have different roots. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, Shannon says a code exists. The capacity of a binary symmetric channel is $C=1-H(p)$, giving $0.919207$, $0.713603$, $0.500084$ and $0.188722$ at $p=0.01,0.05,0.11,0.25$ (computed here). But the proof only averages over randomly drawn codes and names none of them (Section 2).

Second, Galois hands over one. A Reed–Solomon code over a finite field was built here from scratch, together with a Berlekamp–Welch decoder (Section 3).

Third, and this is the core. The boundary is sharp. Over the field of $11$ elements with $n=8$ and $k=3$, the code recovers the message with $0$, $1$ and $2$ errors and admits no decoding at $3$、the line falls exactly at $t=2$ (computed here). And the decoder is an algorithm, not an assertion (Section 4).

Fourth, the construction is optimal as well. Against the Singleton bound $d\le n-k+1=6$, the Reed–Solomon minimum distance is $6$ (all $1331$ codewords enumerated), while $40$ random linear codes gave $4$ or $5$, with $0$ of them reaching the bound (Section 5).

Fifth, the brake. The construction carries a constraint the existence theorem never had. A field of order $q$ exists only when $q$ is a prime power, so there is none for $q=6,10,12,14,\dots$ There is no Reed–Solomon code over a six-letter alphabet、while Shannon’s capacity is defined for any alphabet size at all (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/163/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/163 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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