Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文167 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/167 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22093172）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文167】一意化が与えるのは「一つの形」ではなく、「一つの模型と、一つの径数」である

@misc{yamagishi2026yoi167,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Uniformization Gives Not One Shape but One Model and One Parameter},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/167},
  doi = {10.5281/zenodo.22093172},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

一意化定理は「単連結なリーマン面は球面・平面・円板のいずれかである」と述べる。三つに分かれる、と聞けば位相の話に聞こえる。だが平面と円板は同相である。分けているのは位相ではない。新しい数学定理は主張しない。リーマン以来の標準的内容である。

第一に、罠から入る。$h(z)=z/(1-|z|)$ は円板から平面への同相写像であり、半径方向と接方向の直角をちょうど $90.0$ 度に保つ。一つの角を保つことは共形であることではない。$45$ 度傾けた直角は $z=0.8$ で $157.38$ 度に開き、全方向の伸び率の比は$1.25$／$2.0$／$5.0$である（正則写像はどこでも $1.0$）（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。偏心した環状領域はどれも互いに同相だが、共形に等しいのは実数一つが一致するときだけである。その数をメビウス変換の構成と $\mathrm{arccosh}$ 公式という独立な二経路で求め、六つの例で20桁一致させた（第3節）。

第三に、同じ数を持つ族を実際に解いた。$R=1$、内円の中心のずれ $d=0.1,0.2,0.3,0.4$ に対し、内半径を $0.296707,0.286870,0.270614,0.248139$ と取ると、見た目のまるで違う四つの領域が同一のモジュラス $1.203973$ を持つ（第4節）。

第四に、トーラスでは径数が複素数になる。$j$ をテータ関数から独立に組んで $j(i)=1728$、$j(2i)=287496$ を確かめ、$j(\tau)=j(\tau+1)=j(-1/\tau)$ を $10^{-27}$ で検証した。一意化は「一つの形」で終わらない（第5節）。

第五に、$\chi$ の符号は閉曲面でしか決めない。平面と円板はともに $\chi=1$ で可縮でありながら、模型が違う。開曲面の型は、いかなる位相不変量でも決まらない（第6節）。

Abstract

The uniformization theorem says that every simply connected Riemann surface is the sphere, the plane or the disk. A split into three sounds like a statement of topology（but the plane and the disk are homeomorphic. What separates them is not topology. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED）all of this is standard since Riemann.

First, a trap. The map $h(z)=z/(1-|z|)$ is a homeomorphism from the disk onto the plane, and it keeps the right angle between the radial and tangential directions at exactly $90.0$ degrees. Preserving one angle is not conformality、tilted by $45$ degrees the same right angle opens to $157.38$ degrees at $z=0.8$, and the ratio of the largest stretch to the smallest is $1.25$, $2.0$, $5.0$ against $1.0$ for a holomorphic map (Section 2).

Second, and this is the core. All eccentric annuli are homeomorphic to one another, and two are conformally the same exactly when one real number agrees. That number was computed along two independent routes, an explicit Möbius construction and the $\mathrm{arccosh}$ formula, and the two agreed to 20 digits in six cases (Section 3).

Third, the family with one number was solved explicitly. With $R=1$ and offsets $d=0.1,0.2,0.3,0.4$, inner radii $0.296707$, $0.286870$, $0.270614$, $0.248139$ give four regions that look nothing alike and carry the identical modulus $1.203973$ (Section 4).

Fourth, on a torus the parameter becomes complex. Building $j$ from theta functions independently gives $j(i)=1728$ and $j(2i)=287496$, and $j(\tau)=j(\tau+1)=j(-1/\tau)$ was verified to $10^{-27}$. Uniformization does not end in one shape (Section 5).

Fifth, the sign of $\chi$ decides only for closed surfaces. The plane and the disk both have $\chi=1$ and are both contractible, yet fall to different models、the type of an open surface is settled by no topological invariant at all (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/167/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/167 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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