Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文201 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/201 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22109052）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文201】「完備」は四つの別の主張であり、四つを一つに束ねているのは計量が正定値であることである

@misc{yamagishi2026yoi201,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Complete” Is Four Separate Statements, and What Ties Them Into One Is That the Metric Is Positive Definite},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/201},
  doi = {10.5281/zenodo.22109052},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「その空間は完備である」という文は、少なくとも四つの別の主張のどれかである。本稿は、リーマンの側では四つが一つに束ねられ、符号を変えると束が解けることを数で示す。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、リーマンの側では四つが同時に壊れる。原点を抜いた平面では、測地線が有限の長さで穴に届き、コーシー列が行き先を失い、有界閉集合がコンパクトでなくなる。三つは別々には壊れない（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。同じ集合でも、計量を替えると答が反転する。開円板の半径 $r$ までの道は、ユークリッドでは長さ $r$ で有界のままだが、双曲計量では $r=0.99999999$ で $19.11382792$ に達し、上限が無い（第3節）。

第三に、双曲計量では測地線が決して到達しない。単位速さの半径方向の測地線は $r(s)=\tanh(s/2)$ であり、境界までの隔たりは $1-r(s)=2/(e^{s}+1)$ で、どの $s$ でも零にならない（第4節）。

第四に、ローレンツの側では四つのうち一つがそもそも定義できない。区間は正定値でないので距離にならず、コーシー列という言い方が立たない（第5節）。

第五に、もう一つは逆を向く。$(0,0)$ から $(2,0)$ への時間的な道で、まっすぐな道の固有時は $2$、途中で $x=0.3$ まで振れた道は $1.90787840283389$、測地線は最短ではなく最長である（第5節）。

Abstract

The sentence “that space is complete” is one of at least four separate statements. This paper shows numerically that on the Riemannian side the four are tied into one, and that changing the signature unties them. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, on the Riemannian side the four fail together. On the plane with the origin removed, a geodesic reaches the hole at finite length, a Cauchy sequence loses its destination, and a closed bounded set stops being compact、the three do not fail separately (Section 2).

Second, this is the core. On the same set, changing the metric reverses the answer. The radius out to $r$ in the open disc has Euclidean length $r$ and stays bounded, while in the hyperbolic metric it reaches $19.11382792$ at $r=0.99999999$ and has no bound at all (Section 3).

Third, in the hyperbolic metric the geodesic never arrives. The unit-speed radial geodesic is $r(s)=\tanh(s/2)$, and its gap to the boundary is $1-r(s)=2/(e^{s}+1)$, which is never zero for any $s$ (Section 4).

Fourth, on the Lorentzian side one of the four cannot even be stated. The interval is not positive definite, so it is not a distance, and the phrase “a Cauchy sequence converges” has nothing to attach to (Section 5).

Fifth, another one turns around. For timelike paths from $(0,0)$ to $(2,0)$ the straight one has proper time $2$, and one bent out to $x=0.3$ has $1.90787840283389$、the geodesic is not the shortest but the longest (Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/201/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/201 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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