Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文36 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/36 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22091319）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文36】ストークス抵抗の 6π の π は、立体角である

@misc{yamagishi2026yoi36,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The π in Stokes' 6π Is a Solid Angle},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/36},
  doi = {10.5281/zenodo.22091319},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

球にはたらく粘性抵抗 $F=6\pi\mu Ua$ の $6\pi$ には、$\pi$ が何食わぬ顔で座っている。本稿は体系自身の検査（論文31：次元 $d$ を動かしたとき、その $\pi$ は動くか）をこの $6\pi$ に当てる。新しい流体力学は主張しない。

第一に、$d$ 次元のストークス流を自前で解いた。ストークスレットと勢位双極子の重ね合わせを仮定し、ストークス方程式の残差が恒等的に $0$、非圧縮条件も $0$、粘着条件も満たされることを $d=3,\dots,7$ で確認した（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。抵抗は閉じた形を持つ：

\[

F=\frac{d(d-2)}{d-1}\;\mathrm{Vol}(S^{d-1})\;\mu U a^{d-2}.

\]

$d=3,4,5,6,7$ の五つで、係数がそれぞれ $3/2,\,8/3,\,15/4,\,24/5,\,35/6$ となり、この一つの式に一致した（本稿で計算）（第3節）。

第三に、したがって $6\pi$ の $\pi$ は立体角である。$d=3$ で $\tfrac32\times4\pi=6\pi$ であり、$4\pi$ は $\mathrm{Vol}(S^2)$ そのもの。$d$ を動かすとこの $\pi$ は $\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$ として動く。論文31 の判定基準によれば、これは周期ではなく立体角である（第4節）。

第四に、しかし「$6$」は残らない。$6$ は $d=3$ における $\tfrac{d(d-2)}{d-1}\times$（球面の分割数 $4$）の値にすぎず、次元を一つ上げれば $8/3\times2\pi^2$ になる（第4節）。

第五に、係数は $(d-2)$ を担い、$d=2$ でちょうど消える。これはストークスのパラドックスが公式そのものに書き込まれているということである。実際 $d=2$ で粘着条件を満たす解は流体が全域で静止しているもの一つだけであり、無限遠の一様流が失われる（本稿で構成）（第5節）。

Abstract

In the viscous drag on a sphere, $F=6\pi\mu Ua$, a $\pi$ sits with a perfectly innocent air. This paper turns the corpus’s own test on it (Paper 31: when the dimension $d$ is moved, does that $\pi$ move?). NO NEW FLUID MECHANICS IS CLAIMED.

First, Stokes flow was solved in $d$ dimensions from scratch. Taking a superposition of a Stokeslet and a potential dipole, the residual of the Stokes equation is identically $0$, so is the incompressibility condition, and the no-slip condition is met, checked for $d=3,\dots,7$ (Section 2).

Second, and this is the core. The drag has a closed form:

\[

F=\frac{d(d-2)}{d-1}\;\mathrm{Vol}(S^{d-1})\;\mu U a^{d-2}.

\]

At $d=3,4,5,6,7$ the coefficients came out as $3/2,\,8/3,\,15/4,\,24/5,\,35/6$, and all five agree with this single expression (computed here) (Section 3).

Third, the $\pi$ of $6\pi$ is therefore a solid angle. At $d=3$ one has $\tfrac32\times4\pi=6\pi$, and that $4\pi$ is $\mathrm{Vol}(S^2)$ itself. Move $d$ and this $\pi$ moves as $\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$、by the criterion of Paper 31, it is a solid angle and not a period (Section 4).

Fourth, the “$6$” does not survive. It is merely the value of $\tfrac{d(d-2)}{d-1}$ times $4$ at $d=3$, and one dimension up it becomes $8/3$ times $2\pi^2$ (Section 4).

Fifth, the coefficient carries $(d-2)$, which vanishes exactly at $d=2$. Stokes’ paradox is thus written into the formula itself. Indeed at $d=2$ the only solution meeting the no-slip condition is the fluid at rest everywhere, and the uniform stream at infinity is lost (constructed here) (Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/36/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/36 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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