YOI 585：見つからなかった誤りは二人の重なりから数えられるが、二人が同じ所で見落とすと少なく出る

論文585 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/585 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014365）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文585】見つからなかった誤りは二人の重なりから数えられるが、二人が同じ所で見落とすと少なく出る

@misc{yamagishi2026yoi585,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Errors Not Yet Found Can Be Counted from Two Readers' Overlap, but Come Out Too Few If Both Miss the Same Ones},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/585},
  doi = {10.5281/zenodo.23014365},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

原稿を二人が別々に読み、見つけた誤りの重なりから、まだ見つかっていない誤りの数を推定する方法がある。本稿が示すのは、その推定は二人の見落としが互いに関係しないときだけ正しく、同じ所で見落とせば少なく、逆の所で見落とせば多く出て、どちらに外れるかは見落としの共分散の符号で決まることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、重なりから総数が出る。A が $20$、B が $25$、両方が $10$ 見つけたなら、推定の総数は $\mathbf{50.000000}$、見つかっていないのは $\mathbf{15.000000}$ である。小さな標本の補正を入れると $\mathbf{48.636364}$ になる（第2節）。

第二に、見つけやすさが一様なら、推定はちょうど当たる。本当の総数 $100$ に対し、期待値で推定の総数は $\mathbf{100.000000}$、見つかっていない推定 $\mathbf{30.000000}$ も本当の $30$ に一致する（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。二人が同じ所で見落とすと、推定は少なく出る。半分の誤りは二人とも $0.7$ で、半分は $0.1$ で見つけるとき、重なりは $\mathbf{25.0000}$ に膨らみ、推定の総数は $\mathbf{64.000000}$、見つかっていない $45$ を $\mathbf{9.000000}$ と答える（第4節）。

第四に、見落とす所が二人で逆なら、推定は多く出る。重なりは $\mathbf{7.0000}$ に縮み、推定の総数は $\mathbf{228.571429}$、見つかっていない $27$ を $\mathbf{155.571429}$ と答える（第5節）。

第五に、外れ方は一つの式で書ける。推定と本当の比は $1/(1+\mathrm{cov}/(\bar p_1\bar p_2))$ で、直接の計算と $10^{-12}$ で一致する（第6節）。

第六に、分離子は、二人の見落としが互いに関係するかどうか、とその向きである。共分散が正なら少なく、負なら多く、$0$ のときだけ当たる（第6節）。

キーワード：捕獲再捕獲法、リンカーン＝ピーターセン推定、校正の見落とし、誤りの数、独立の仮定

Abstract

One way to estimate how many errors remain in a manuscript is to have two people read it separately and use the overlap of what they found.What this paper shows is that the estimate is right only when the two readers’ misses are unrelated; if they miss the same errors it comes out too few, if they miss opposite ones too many, and which way it errs is set by the sign of the covariance of their misses.No new theorem or law is claimed.

First, the overlap gives the total、if A finds $20$, B finds $25$ and both find $10$, the total is estimated at $\mathbf{50.000000}$ and the errors not yet found at $\mathbf{15.000000}$; the small-sample correction gives $\mathbf{48.636364}$ (Section 2).

Second, if findability is uniform, the estimate is exactly right、with $100$ true errors the expected estimate is $\mathbf{100.000000}$, and the estimate of those not found, $\mathbf{30.000000}$, matches the true $30$ (Section 3).

Third, and this is the core.If both readers miss the same errors, the estimate comes out too few、when half the errors are found by each reader with probability $0.7$ and half with $0.1$, the overlap swells to $\mathbf{25.0000}$, the total is estimated at $\mathbf{64.000000}$, and the $45$ errors not yet found are reported as $\mathbf{9.000000}$ (Section 4).

Fourth, if their blind spots are opposite, the estimate comes out too many、the overlap shrinks to $\mathbf{7.0000}$, the total is estimated at $\mathbf{228.571429}$, and $27$ errors not yet found are reported as $\mathbf{155.571429}$ (Section 5).

Fifth, the error of the estimate has one formula、the ratio of estimate to truth is $1/(1+\mathrm{cov}/(\bar p_1\bar p_2))$, matching the direct calculation to $10^{-12}$ (Section 6).

Sixth, the separator is whether the two readers’ misses are related, and in which direction、a positive covariance gives too few, a negative one too many, and only zero is right (Section 6).

Keywords: capture-recapture, Lincoln-Petersen estimator, proofreading, number of errors, independence assumption

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/585/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/585 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ