YOI 614：一人おきに除く輪で最後に残る席は、人数を二進法で書いて先頭の 1 を末尾へ回した数である

論文614 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/614 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014482）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi614,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {In a Circle Where Every Second Person Leaves, the Last Seat Is the Head Count with Its Leading Binary 1 Moved to the End},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/614},
  doi = {10.5281/zenodo.23014482},
  note = {Preprint, edition 3}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月31日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973883・973887・973901 に記録されました（2026年10月31日 06:37（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

$n$ 人が $1$ から $n$ の番号順に輪になって座り、$1$ 番から数えて $k$ 人目ごとに輪から外れていく。最後に残る席は何番か（ヨセフスの問題）。一人おき（$k=2$）と二人おき（$k=3$）で、輪を実際に回した結果と式を突き合わせる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、一人おきなら、残る席は二進法の回転で決まる。$n$ を二進法で書き、先頭の $1$ を末尾へ回した数が、最後に残る席である。$n=1$ から $1024$ のすべてで、輪を回した結果と一致した。$41$ 人なら $101001$ が $10011$ になって $19$ 番、$100$ 人なら $73$ 番、$1000$ 人なら $977$ 番である（第2節）。

第二に、一人おきでは、残る席はいつも奇数である。回した数の末尾はいつも $1$ だからで、$1024$ 通りすべてで奇数だった。人数が $2$ の冪なら、回しても $1$ に戻り、$1$ 番が残る（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。一人おきの輪は、一周ごとに人数を半分にする二進法の操作である。$n=2^m+L$ のとき、$L$ 人を外した時点で残りは $2^m$ 人になり、次に数え始める席 $2L+1$ がそのまま最後に残る。$2^m$ 人の輪では、一周ごとに半分が外れて最初の席が生き残り続けるからである（第3節）。

第四に、分離子は、何人おきに除くかである。二人おき（$k=3$）では、二進法の回転のような短い形は無く、一人ずつ減らす漸化式か、定数を使う閉じた式で出す。$n=1$ から $1000$ のすべてで、輪を回した結果と漸化式が一致し、$41$ 人では最後の二人が $16$ 番と $31$ 番だった。残る席が偶数になる人数は $1000$ のうち $500$ で、奇数の偏りは消える（第4節）。

キーワード：ヨセフスの問題、二進法、漸化式、除去の輪、再帰

Abstract

$n$ people sit in a circle in the order $1$ to $n$; counting from seat $1$, every $k$-th person leaves the circle. Which seat is left last (the Josephus problem)? For every second ($k=2$) and every third ($k=3$) person, the result of actually running the circle is matched with the formula. No new theorem or law is claimed.

First, removing every second person, the last seat is a binary rotation: writing $n$ in binary and moving its leading $1$ to the end gives the last seat. For every $n$ from $1$ to $1024$ this agreed with running the circle. For $41$ people $101001$ becomes $10011$, seat $19$; for $100$ people, seat $73$; for $1000$, seat $977$ (Section 2).

Second, removing every second person, the last seat is always odd: the rotated number always ends in $1$, and all $1024$ cases were odd. When the head count is a power of $2$, the rotation returns $1$ and seat $1$ remains (Section 2).

Third, and this is the core. The circle that removes every second person is a binary operation that halves the head count each round: with $n=2^m+L$, once $L$ people have left, $2^m$ remain, and the seat where counting resumes, $2L+1$, is the one left last, because in a circle of $2^m$ each round removes half and the starting seat keeps surviving (Section 3).

Fourth, the separator is how many are skipped: removing every third person ($k=3$) there is no short form like the binary rotation, and the answer comes from a recurrence that removes one person at a time or from a closed formula using a constant. For every $n$ from $1$ to $1000$ the circle and the recurrence agreed, and for $41$ people the last two were seats $16$ and $31$. The last seat was even for $500$ of the $1000$ head counts, so the odd bias disappears (Section 4).

Keywords: Josephus problem, binary representation, recurrence relation, elimination circle, recursion

版の記録

ここの PDF（倉庫の v3）は第3版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/614/v3/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/614 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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