YOI 639：跳ぶ確率を無くすと、ページの重みは出口の無い輪にすべて吸い込まれる

論文639 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/639 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014608）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi639,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Without the Chance of Jumping, All the Weight of the Pages Drains into a Loop with No Exit},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/639},
  doi = {10.5281/zenodo.23014608},
  note = {Preprint, edition 3}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月31日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973883・973887・973901 に記録されました（2026年10月31日 06:37（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ページの重み（ページランク）を、リンクをたどる人が長い間に各ページにいる割合として決める。その人は、確率 $d$ でいまのページのリンクを一つ無作為に選んで進み、確率 $1-d$ で全ページのどこかへ一様に跳ぶ。リンクの無いページからは必ず跳ぶ。$8$ ページの網（出口の無い輪 $3\to4\to5\to3$、誰からも引かれないページ $6$、行き止まりのページ $7$ を含む）で数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、三つの道筋が一致する。$d=0.85$ で、一次方程式とべき乗法は $10^{-12}$ 以内で一致し、乱数でたどる $3000000$ 歩の訪れた割合との差は最大 $0.000125$ だった。輪 $3$・$4$・$5$ の重みの合計は $0.719042$、最も重いのはページ $3$、最も軽いのは誰からも引かれないページ $6$ の $0.023691$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。跳ぶ確率を無くすと、重みは出口の無い輪にすべて吸い込まれる。輪の重みの合計は、$d=0.5$ で $0.479884$、$0.85$ で $0.719042$、$0.99$ で $\mathbf{0.972730}$、$0.999$ で $0.997191$ と増え、$d=1$ でちょうど $1$ になり、ほかのページの重みは $0$ になる。跳ぶ確率 $1-d$ が、輪の外のページに重みを残している（第3節）。

第三に、計算の誤差は一回に $0.85$ 倍ずつ縮む。べき乗法の誤差は、$50$ 回目から $200$ 回目まで一回あたり $0.850000$ 倍ずつ縮み、$68$ 回目で $10^{-6}$ を切った。行列の二番目の固有値の絶対値はちょうど $0.85$ で、二つある（第4節）。

第四に、定常だが、詳細つりあいは成り立たない。ページ $i$ から $j$ へ流れる重み $\pi_iG_{ij}$ と、逆向きの $\pi_jG_{ji}$ の食い違いは、ページ $3\to4$ で最大の $0.215543$ だった。重みの分布は動かないが、重みは輪を回り続けている（第5節）。

キーワード：ページランク、減衰係数、マルコフ連鎖、ランダムサーファー、出口の無い輪

Abstract

The weight of a page (its PageRank) is set as the long-run share of time a link-following surfer spends there. With probability $d$ the surfer follows one link of the current page at random, and with probability $1-d$ jumps uniformly to any page; from a page with no links the surfer always jumps. It is counted on an $8$-page network containing a loop with no exit $3\to4\to5\to3$, a page $6$ that nothing links to, and a dead-end page $7$. No new theorem or law is claimed.

First, three routes agree: at $d=0.85$, the linear equation and power iteration agreed within $10^{-12}$, and the visit shares of a $3000000$-step random surfer differed from them by at most $0.000125$. The loop $3$, $4$, $5$ holds a total weight of $0.719042$; the heaviest page is $3$ and the lightest is page $6$, which nothing links to, at $0.023691$ (Section 2).

Second, and this is the core. Without the chance of jumping, all the weight drains into the loop with no exit: the loop’s total weight rises from $0.479884$ at $d=0.5$ to $0.719042$ at $0.85$, $\mathbf{0.972730}$ at $0.99$ and $0.997191$ at $0.999$, and is exactly $1$ at $d=1$, where every other page has weight $0$. The chance of jumping, $1-d$, is what leaves weight on the pages outside the loop (Section 3).

Third, the error of the computation shrinks by $0.85$ per step: the error of power iteration shrank by $0.850000$ per step from step $50$ to step $200$, and fell below $10^{-6}$ at step $68$. The second eigenvalue of the matrix has absolute value exactly $0.85$, and there are two of them (Section 4).

Fourth, it is stationary, but detailed balance fails: the weight flowing from page $i$ to $j$, $\pi_iG_{ij}$, and the reverse $\pi_jG_{ji}$ differed most at pages $3\to4$, by $0.215543$. The distribution of weight does not move, but the weight keeps circling the loop (Section 5).

Keywords: PageRank, damping factor, Markov chain, random surfer, absorbing cycle

版の記録

ここの PDF（倉庫の v3）は第3版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/639/v3/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/639 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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