YOI 701：データを増やすほど、罰則つきの規準は複雑なほうを選ぶようになる

論文701 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/701 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014898）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi701,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The More Data There Is, the More a Penalised Criterion Prefers the More Complicated Model},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/701},
  doi = {10.5281/zenodo.23014898},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

複雑な模型は罰されるはずだ、と言われる。だが罰則つきの規準に入れても、データを増やすほど複雑なほうが勝つ。罰則と当てはまりが $n$ に対してどう伸びるかを、交差点の数で示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、当てはまりだけで選べば、複雑なほうが勝つ、残差は周転円 $0.004$、楕円 $0.005$ で、母数を $11$ 使える側が勝つ（第2節）。

第二に、罰則を入れても、$n=100$ では二つの規準が食い違う。AIC は周転円 $\mathbf{-990.663110}$ 対 楕円 $\mathbf{-980.348755}$ で周転円を、BIC は $\mathbf{-962.006238}$ 対 $\mathbf{-967.322904}$ で楕円を選ぶ（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。データを増やすほど、複雑なほうが勝つ、周転円が勝ちはじめる $n$ は AIC で $\mathbf{53.777041}$、BIC で $\mathbf{131.109261}$ であり、それより上ではずっと周転円が選ばれる（第3節）。

第四に、交差点には閉じた式がある。AIC では $2\Delta k$ を残差の比の対数で割った値で、二分法の $53.777041$ と $6$ 桁一致した（第3節）。

第五に、理由は、伸び方の違いだけである。当てはまりの差は $n$ に比例して伸びるのに、罰則の差は定数（AIC）か対数（BIC）でしか伸びない。$n=5000$ で AIC の差は $\mathbf{+1103.717757}$ になる（第3節）。

第六に、分離子は、罰則が $n$ とともにどう増えるかである。罰則があるかどうかではない。$n$ に比例して増える罰則でなければ、いずれ追い越される（第4節）。

キーワード：模型選択、AIC、BIC、罰則項、過適合、標本数の効き

Abstract

A complicated model is supposed to be penalised. Yet inside a penalised criterion, the more data there is the more the complicated model wins.How penalty and fit grow with $n$ is shown here through the crossing point.No new theorem or law is claimed.

First, chosen on fit alone, the complicated model wins、the residuals are $0.004$ against $0.005$, and the side allowed $11$ parameters wins (Section 2).

Second, with penalties, the two criteria disagree at $n=100$、AIC gives $\mathbf{-990.663110}$ against $\mathbf{-980.348755}$ and chooses the epicycles; BIC gives $\mathbf{-962.006238}$ against $\mathbf{-967.322904}$ and chooses the ellipse (Section 2).

Third, and this is the core. More data makes the complicated model win、the epicycles begin to win at $n=\mathbf{53.777041}$ under AIC and $n=\mathbf{131.109261}$ under BIC, and above that they are chosen for ever (Section 3).

Fourth, the crossing point has a closed form、for AIC it is $2\Delta k$ over the logarithm of the residual ratio, agreeing with the bisected $53.777041$ to six digits (Section 3).

Fifth, the reason is only the rate of growth、the difference in fit grows in proportion to $n$ while the difference in penalty grows as a constant (AIC) or a logarithm (BIC); at $n=5000$ the AIC gap is $\mathbf{+1103.717757}$ (Section 3).

Sixth, the separator is how the penalty grows with $n$、not whether there is a penalty: unless it grows in proportion to $n$, it is overtaken sooner or later (Section 4).

Keywords: model selection, AIC, BIC, penalty term, overfitting, effect of sample size

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/701/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/701 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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