YOI 734：歩幅の天井を決めているのは勾配の大きさではなく、いちばん急な向きの曲率である

論文734 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/734 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015057）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi734,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Caps the Step Size Is Not the Size of the Gradient but the Curvature in the Steepest Direction},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/734},
  doi = {10.5281/zenodo.23015057},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

勾配降下で歩幅を上げれば速くなる。ただし天井が在り、その天井は問題の形が決めている。天井と、最適な歩幅と、そのときの歩数を、同じ一つの数から出す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、天井は $2/\kappa$ である。$\kappa=100$ なら $\mathbf{0.02000000}$ で、勾配の大きさも出発点も入らない（第2節）。

第二に、天井を少し超えるだけで発散する。$1.01$ 倍の $\mathbf{0.02020000}$ では一歩 $\mathbf{1.020000}$ 倍になる（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。最適な歩幅でも、一歩の縮みは $1$ に近い。$2/(1+\kappa)=\mathbf{0.01980198}$ で一歩 $\mathbf{0.980198}$ 倍にとどまり、$(\kappa-1)/(\kappa+1)$ と差 $0$ で一致する（第3節）。

第四に、だから歩数が要る。$100$ 分の $1$ に縮めるのに $\mathbf{230.250834}$ 歩、$\kappa=1000$ なら $\mathbf{2302.584325}$ 歩である（第3節）。

第五に、二つの曲率は違う働きをする。大きいほうが天井を決め、小さいほうは歩数にしか効かない（第3節）。

第六に、分離子は、進みを止めているのが勾配の大きさか、曲率のばらつきかである。止めているのは後者で、前者は歩幅に何の制限も与えない（第4節）。

キーワード：勾配降下、歩幅、条件数、収束率、曲率が決める天井、同じ語が別の量

Abstract

Raising the step size in gradient descent makes it faster. But there is a cap, and the cap is set by the shape of the problem.The cap, the best step and the number of steps are all derived from one number.No new theorem or law is claimed.

First, the cap is $2/\kappa$、$\mathbf{0.02000000}$ at $\kappa=100$, with neither the gradient nor the starting point in it (Section 2).

Second, a little above the cap it diverges、at $1.01$ times, $\mathbf{0.02020000}$, one step multiplies by $\mathbf{1.020000}$ (Section 2).

Third, and this is the core. Even at the best step the contraction is close to one、$2/(1+\kappa)=\mathbf{0.01980198}$ contracts by only $\mathbf{0.980198}$, agreeing with $(\kappa-1)/(\kappa+1)$ to a difference of $0$ (Section 3).

Fourth, so steps are needed、$\mathbf{230.250834}$ of them to reach a hundredth, and $\mathbf{2302.584325}$ at $\kappa=1000$ (Section 3).

Fifth, the two curvatures do different work、the larger sets the cap and the smaller only the number of steps (Section 3).

Sixth, the separator is whether progress is limited by the size of the gradient or by the spread of curvature、it is the latter; the former places no limit on the step at all (Section 4).

Keywords: gradient descent, step size, condition number, rate of convergence, a cap set by curvature, one phrase two quantities

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/734/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/734 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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