YOI 763：全周期の線形合同法は周期の中で値が重ならず、重ならないことが乱数でない印になる

論文763 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/763 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015205）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi763,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Full-Period Linear Congruential Generator Never Repeats Within Its Period, Which Marks It as Not Random},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/763},
  doi = {10.5281/zenodo.23015205},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

擬似乱数は、周期が長いほど良いと言われる。周期の中で同じ値が出ないなら、なおさら良さそうに見える。同じ値の重なりを、本物の乱数と二通りの出し方で数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、周期は長くても、使い切れる。$32$ ビットで周期 $4294967296$、$1$ 秒に $10^{9}$ 回なら $\mathbf{4.294967}$ 秒（第2節）。

第二に、本物の乱数は、周期よりずっと早く重なる。$32$ ビットで最初の重なりまで $\mathbf{82137.861970}$ 回、周期の $1.912421\times10^{-5}$ 倍（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。状態をそのまま出す全周期の生成器は、一度も重ならない。$16$ ビットの値を $5000$ 個引いて、本物は $\mathbf{187.250000}$ 回、生成器は $\mathbf{0.000000}$ 回（第3節）。

第四に、重ならないことが、本物でない印になる。本物の期待値は $\mathbf{185.940004}$ 回で、試行もそれに乗る（第3節）。

第五に、状態の一部だけを出すと、重なりが戻る。$32$ ビットの上位 $16$ ビットで $\mathbf{187.480000}$ 回、期待値との相対差 $\mathbf{0.008282}$（第3節）。

第六に、分離子は、出しているのが状態そのものか、状態の一部かである。「周期が長いほど良い乱数」は、何を出しているかを言うまで真偽が決まらない（第4節）。

キーワード：擬似乱数、線形合同法、周期、誕生日の重なり、全周期の条件、状態と出力

Abstract

Pseudo-random generators are said to be better the longer their period. If no value repeats within the period, all the better, it seems.Repeated values are counted for true random numbers and for two ways of producing output.No new theorem or law is claimed.

First, a long period can still be used up、$32$ bits give period $4294967296$, used up in $\mathbf{4.294967}$ s at $10^{9}$ draws per second (Section 2).

Second, true random numbers repeat far sooner than the period、$\mathbf{82137.861970}$ draws to the first repeat at $32$ bits, $1.912421\times10^{-5}$ of the period (Section 2).

Third, and this is the core. A full-period generator that outputs its state never repeats、drawing $5000$ $16$-bit values, true random numbers repeat $\mathbf{187.250000}$ times, the generator $\mathbf{0.000000}$ times (Section 3).

Fourth, not repeating marks it as not random、the true expectation is $\mathbf{185.940004}$, and the trial follows it (Section 3).

Fifth, outputting only part of the state brings repeats back、the top $16$ bits of a $32$-bit generator give $\mathbf{187.480000}$, a relative difference of $\mathbf{0.008282}$ from expectation (Section 3).

Sixth, the separator is whether the output is the whole state or part of it、“a longer period makes a better generator” has no truth value until one says what is output (Section 4).

Keywords: pseudo-random numbers, linear congruential generator, period, birthday repeats, full-period condition, state and output

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/763/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/763 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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