YOI 905：ラーモアの公式の 2/3 と c³ の 3 は、どちらも空間次元である

論文905 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/905 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22803759）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi905,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 3 in Larmor's 2/3 and the 3 in Its c³ Are Both the Space Dimension},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/905},
  doi = {10.5281/zenodo.22803759},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月21日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 972369・972387・972391 に記録されました（2026年10月21日 04:31（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ラーモアの公式 $P=\frac{2}{3} \frac{q^2a^2}{c^3}$ の $2/3$ と $c^3$ は、電磁気の計算の結果として与えられたものだと思われている。本稿は、単位と「運動の振幅の二次」だけで仕事率になる形を $d$ 次元で数え上げ、二つの $3$ がどこから来るかを見る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、単位が許す形は、$d-1$ の分割の数だけある。加速度 $a$ の $(k-1)$ 階微分を部分 $k$ と読むと、仕事率になる単項式は $d-1$ の分割に一対一で対応し、$d=2$ から $9$ で $1$・$2$・$3$・$5$・$7$・$11$・$15$・$22$ 個ある。$d=3$ では $a^2/c^3$ と $a^{(1)}/c^2$ の二つで、単位だけでは決まらない（第2節）。

第二に、$c$ の指数は $2-d-$（因子の数）である。因子を二つに限れば $c$ の指数は $-d$ で、$c^3$ の $3$ は $d=3$ の $d$ である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。振幅の二次で一つに決まるのは、奇数次元だけである。因子二つの形を周期 $2\pi$ の運動で一周期積分すると、奇数次元では $d=5$ の $[3,1]$ が $\mathbf{-209.261487}$、$[2,2]$ が $+209.261487$ のように中の微分の二乗に帰着して一つの形（$a^2/c^3$・$a^{(1)2}/c^5$・$a^{(2)2}/c^7$・$a^{(3)2}/c^9$）が残り、偶数次元では $d=4$・$6$・$8$ のすべての形が $0$ になる（第3節）。

第四に、偶数次元の形は時間の全微分である。$d=4$ の $a^{(1)}a$、$d=6$ の $a^{(3)}a$ と $a^{(2)}a^{(1)}$ は、それぞれ二乗の時間微分の半分であり、一周期で消える（第3節）。

第五に、$2/3$ の $3$ も空間次元である。角分布 $\sin^2\theta$ の球面平均は $1-1/d$ で、$d=3$ で $\mathbf{0.666667}$、$5$ で $0.800000$、$7$ で $0.857143$ である。$d=3$ の $\int\sin^2\theta d\Omega=\mathbf{8.377580}$ は $4\pi\times2/3$ である（第4節）。

第六に、分離子は、一周期で消える形か、残る形かである。単位は形を分割の数だけ許し、振幅の二次は因子を二つに絞り、一周期で残るかどうかが次元の偶奇で分かれる（第5節）。

キーワード：ラーモアの公式、単位の釣り合い、整数の分割、c の冪、奇数次元、角分布

Abstract

The $2/3$ and the $c^3$ in Larmor’s formula $P=\frac{2}{3} \frac{q^2a^2}{c^3}$ are usually taken as given by the electromagnetic calculation.This paper counts, in $d$ dimensions, the forms that units and “second order in the amplitude of the motion” allow for a power, and looks at where the two $3$s come from.No new theorem or law is claimed.

First, units allow as many forms as partitions of $d-1$、reading the $(k-1)$-th derivative of the acceleration $a$ as a part $k$, the monomials that make a power correspond one to one to partitions of $d-1$, numbering $1$, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $15$, $22$ for $d=2$ to $9$. For $d=3$ there are two, $a^2/c^3$ and $a^{(1)}/c^2$, and units alone do not decide (Section 2).

Second, the exponent of $c$ is $2-d-$(number of factors)、restricted to two factors it is $-d$, so the $3$ of $c^3$ is the $d$ of $d=3$ (Section 2).

Third, and this is the core. Second order in amplitude fixes one form only in odd dimensions、integrating the two-factor forms over one period of a motion of period $2\pi$, in odd dimensions they reduce to the square of the middle derivative, as $[3,1]$ gives $\mathbf{-209.261487}$ and $[2,2]$ gives $+209.261487$ at $d=5$, leaving one form ($a^2/c^3$, $a^{(1)2}/c^5$, $a^{(2)2}/c^7$, $a^{(3)2}/c^9$), while in even dimensions every form at $d=4$, $6$ and $8$ integrates to $0$ (Section 3).

Fourth, the even-dimensional forms are total time derivatives、$a^{(1)}a$ at $d=4$, and $a^{(3)}a$ and $a^{(2)}a^{(1)}$ at $d=6$, are each half the time derivative of a square, and vanish over a period (Section 3).

Fifth, the $3$ of $2/3$ is also the space dimension、the spherical mean of the angular pattern $\sin^2\theta$ is $1-1/d$: $\mathbf{0.666667}$ at $d=3$, $0.800000$ at $5$, $0.857143$ at $7$. At $d=3$, $\int\sin^2\theta d\Omega=\mathbf{8.377580}$ is $4\pi\times2/3$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether a form vanishes over one period or survives it、units allow as many forms as partitions, second order in amplitude narrows them to two factors, and whether a form survives one period splits by the parity of the dimension (Section 5).

Keywords: Larmor formula, balance of units, integer partitions, exponent of c, odd dimensions, angular pattern

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/905/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/905 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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