Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文945 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/945 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月13日 9:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi945,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Share of Legal Go Positions Shrinks by a Fixed Ratio per Point, and Less So on Wider Boards},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/945},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

碁盤に黒・白・空を並べたとき、どの石の塊にも隣に空いた点があれば、その並べ方は盤の上に在りうる（合法な）局面である。本稿は、小さな盤の合法な並べ方を、総当たりと行ごとに数える方法の二通りで数え、全部の並べ方に対する割合が盤の大きさと幅でどう変わるかを出す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、二つの数え方は五つの盤で一致した。$2\times2$ で $57$、$3\times3$ で $12675$、$3\times4$ で $321689$、$2\times6$ で $299681$、$1\times12$ で $141209$ だった（第2節）。

第二に、合法な割合は点が増えるほど下がり、同じ点の数でも盤の形で違う。全部の並べ方に対する割合は $2\times2$ で $0.703704$、$3\times3$ で $0.643957$、$3\times4$ で $0.605315$ で、同じ $12$ 点でも $2\times6$ は $0.563903$、$1\times12$ は $\mathbf{0.265710}$ だった（第2節）。

第三に、行を一つ足すたびの増え方は一定の比に収まる。幅 $1$・$2$・$3$・$4$ で、合法な数は行を一つ足すごとに $2.769292354$・$8.533652512$・$25.445014706$・$75.709341135$ 倍になり、一つ前の行と $9$ 桁一致した（第3節）。

第四に、一点あたりの比は、盤の幅が広いほど 1 に近い。一点あたりの割合（点一つを足すと合法な割合が何倍になるか）は、幅 $1$ で $\mathbf{0.923097}$、幅 $2$ で $0.973747$、幅 $3$ で $0.980422$、幅 $4$ で $\mathbf{0.983255}$ だった（第3節）。

第五に、分離子は、点の隣がいくつあるかである。一列の盤では点の隣は多くて二つで、塊が空いた隣を得にくい。幅が広がると隣が増え、同じ約束が点ごとに削る割合が小さくなる（第4節）。

キーワード：囲碁、合法局面、呼吸点、転送行列、数え上げ、盤の幅

Abstract

When black stones, white stones and empty points are placed on a Go board, the arrangement is a position that can exist on the board (a legal position) if every group of stones is adjacent to an empty point.This paper counts legal arrangements on small boards in two ways, exhaustively and row by row, and finds how their share of all arrangements changes with board size and width.No new theorem or law is claimed.

First, the two counts agreed on five boards: $57$ on $2\times2$, $12675$ on $3\times3$, $321689$ on $3\times4$, $299681$ on $2\times6$ and $141209$ on $1\times12$ (Section 2).

Second, the legal share falls as points are added, and differs with board shape for the same number of points: the share of all arrangements was $0.703704$ on $2\times2$, $0.643957$ on $3\times3$ and $0.605315$ on $3\times4$; with the same $12$ points, $2\times6$ gave $0.563903$ and $1\times12$ gave $\mathbf{0.265710}$ (Section 2).

Third, the growth from adding a row settles to a fixed ratio: for widths $1$, $2$, $3$ and $4$, the legal count grew by factors of $2.769292354$, $8.533652512$, $25.445014706$ and $75.709341135$ per added row, agreeing with the previous row to $9$ digits (Section 3).

Fourth, the per-point ratio is closer to 1 on wider boards: the per-point share (the factor by which the legal share changes when one point is added) was $\mathbf{0.923097}$ for width $1$, $0.973747$ for width $2$, $0.980422$ for width $3$ and $\mathbf{0.983255}$ for width $4$ (Section 3).

Fifth, the separator is how many neighbours a point has: on a one-row board a point has at most two neighbours and groups rarely get an empty neighbour. As the board widens, neighbours increase and the same rule removes a smaller share per point (Section 4).

Keywords: Go, legal positions, liberties, transfer matrix, enumeration, board width

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/945/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/945 はいつも最新の版を指します）。

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