YOI 1020：平方因子の無い a が原始根になる素数の割合は、a を 4 で割って 1 余るときだけ独立の見立てから外れる

論文1020 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1020 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22829569）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1020,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Primitive Roots Break the Independent Estimate Only When the Square-Free Base Leaves 1 on Division by 4},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1020},
  doi = {10.5281/zenodo.22829569},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

整数 a の累乗が p で割った余りをすべて作るとき、a は素数 p の原始根である。a が原始根になる素数が無数にあるか（アルティン予想）は、平方数でも −1 でもない a について未解決である。本稿は、原始根になる素数の割合を数え、素数ごとの確率を掛けた見立てと並べる。新しい定理も法則も主張せず、予想を証明もしない。

第一に、これが本稿の芯である。独立の見立てが外れるのは a＝5 のような場合だけで、その外れは補正でちょうど埋まる。素数ごとの確率を掛けたアルティン定数は $\mathbf{0.373955826}$ で、2×10⁶ までの素数 148932 個で数えると a＝2・3・6・7 は $\mathbf{0.374292}$・$\mathbf{0.373623}$・$\mathbf{0.373958}$・$\mathbf{0.374422}$ だった。a＝5 だけは $\mathbf{0.393578}$ で、a＝2 との差は標準誤差の $\mathbf{10.82}$ 倍あり、補正した見立て $\mathbf{0.393638}$（定数の 1＋1/19 倍）と合った（第2節）。

第二に、外れの出どころは、二つの条件が独立でないことである。p を 5 で割って 1 余る素数では、5 が平方非剰余になる割合は $\mathbf{0.000000}$ で、それ以外の素数では $\mathbf{0.666914}$ だった。独立なら、どちらも半分のはずである（第3節）。

第三に、a を 4 で割って 3 余る a では、二つの条件は結びつかない。a＝3 では二つの割合が $\mathbf{0.500349}$ と $\mathbf{0.499685}$、a＝7 では $\mathbf{0.500807}$ と $\mathbf{0.500415}$ で、どちらも半分だった。4 で割って 1 余る a＝13 では 0 と $\mathbf{0.545794}$ で、1 以外の余りのうち非剰余の余りの割合 6/11＝$\mathbf{0.545455}$ に合った（第3節）。

第四に、補正の大きさは a の素因数で決まり、大きな素因数では小さくなる。a＝13 では 1＋1/155 倍で見立て $\mathbf{0.376368}$ に対して $\mathbf{0.376611}$、a＝21 では 1−1/205 倍で $\mathbf{0.372132}$ に対して $\mathbf{0.372873}$ で、この範囲の数では補正の無い定数と見分けられない（第2節）。

第五に、平方数の a は原始根にならない。a＝4 の割合は 0 だった。平方数はどの p でも平方剰余だからである（第2節）。

第六に、分離子は、a を 4 で割った余りが 1 か 3 か、平方剰余の相互法則は、4 で割って 1 余る a についてだけ、a が平方非剰余であることを p を a で割った余りで決めてしまう。そこで二つの条件が結びつき、確率の積が外れる（第4節）。

キーワード：原始根、アルティン予想、アルティン定数、平方剰余の相互法則、オイラーの規準、平方非剰余

Abstract

An integer a is a primitive root of a prime p when its powers produce every nonzero remainder on division by p. Whether infinitely many primes have a as a primitive root (Artin’s conjecture) is open for every a that is neither a square nor −1.This paper counts the share of primes for which a is a primitive root and lines it up against the estimate that multiplies a probability for each prime.No new theorem or law is claimed, and the conjecture is not proved.

First, and this is the core. The independent estimate fails only in cases like a = 5, and the correction fills the failure exactly、the product of probabilities, Artin’s constant, is $\mathbf{0.373955826}$; counting over the 148932 primes up to 2×10⁶, a = 2, 3, 6 and 7 gave $\mathbf{0.374292}$, $\mathbf{0.373623}$, $\mathbf{0.373958}$ and $\mathbf{0.374422}$. Only a = 5 gave $\mathbf{0.393578}$, differing from a = 2 by $\mathbf{10.82}$ standard errors and matching the corrected estimate $\mathbf{0.393638}$ (1 + 1/19 times the constant) (Section 2).

Second, the failure comes from two conditions not being independent、among primes leaving 1 on division by 5, the share for which 5 is a quadratic non-residue was $\mathbf{0.000000}$, and among the others $\mathbf{0.666914}$. If independent, both would be one half (Section 3).

Third, for a leaving 3 on division by 4, the two conditions are not tied、for a = 3 the two shares were $\mathbf{0.500349}$ and $\mathbf{0.499685}$, and for a = 7 $\mathbf{0.500807}$ and $\mathbf{0.500415}$, both one half. For a = 13, which leaves 1, they were 0 and $\mathbf{0.545794}$, matching the share of non-residue remainders among remainders other than 1, 6/11 = $\mathbf{0.545455}$ (Section 3).

Fourth, the size of the correction is set by the prime factors of a and shrinks for large factors、for a = 13 it is 1 + 1/155, with estimate $\mathbf{0.376368}$ against $\mathbf{0.376611}$, and for a = 21 it is 1 − 1/205, with $\mathbf{0.372132}$ against $\mathbf{0.372873}$; in this range they cannot be told from the uncorrected constant (Section 2).

Fifth, a square a is never a primitive root、the share for a = 4 was 0, because a square is a quadratic residue for every p (Section 2).

Sixth, the separator is whether a leaves 1 or 3 on division by 4、quadratic reciprocity, only for a leaving 1 on division by 4, fixes whether a is a non-residue by the remainder of p on division by a. There the two conditions become tied and the product of probabilities fails (Section 4).

Keywords: primitive root, Artin's conjecture, Artin's constant, quadratic reciprocity, Euler's criterion, quadratic non-residue

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1020/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1020 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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