YOI 1022：光のゆらぎは粒子の項と波の項の和で、二つが等しいのは占有数がちょうど 1 のときである

論文1022 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1022 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22859855）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1022,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Energy Fluctuation of Light Is a Particle Term Plus a Wave Term, and the Two Are Equal Exactly When the Occupation Number Is 1},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1022},
  doi = {10.5281/zenodo.22859855},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月31日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973873・973874・973887・973901 に記録されました（2026年10月31日 05:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

アインシュタインは 1909 年に、黒体放射の一つのモードのエネルギーのゆらぎが、光量子のような項と古典的な波のような項の和になることを示した。本稿は、その二つの項の比が占有数の逆数という一つの数で決まることを、式・占有数の分布・熱力学の三つの道で確かめ、二つが等しくなる点と、プランクの山や太陽の光がどちらの側にあるかを数える。新しい定理も法則も主張せず、波と粒子の二重性の解釈もしない。

第一に、これが本稿の芯である。粒子の項を波の項で割った比は占有数の逆数で、二つが等しいのは占有数がちょうど 1 のときである。一つのモードの平均エネルギーを u、光量子のエネルギーを hν とすると、ゆらぎの二乗平均は hν·u＋u² で、前の項÷後の項＝hν/u は e の x 乗から 1 を引いた値（x＝hν/kT）に等しい。これが 1 になる x を二分法で求めると $\mathbf{0.693147}$＝ln 2 で、そのときの占有数は 1.000000、粒子の項の割合は 0.500000 だった（第2節・第3節）。

第二に、三つの道が同じ数を返す。x＝0.5・ln 2・2.821439・5 の四点で、アインシュタインの式、占有数の幾何分布の分散を和で出した値、熱力学の kT² dU/dT を数値微分した値は、いずれも $\mathbf{3.917698089}$・$\mathbf{2.000000000}$・$\mathbf{0.067292322}$・$\mathbf{0.006829673}$ で一致した（第2節）。

第三に、プランクの山は粒子の側にある。振動数あたりの山 x＝$\mathbf{2.821439}$ では粒子の項が波の項の $\mathbf{15.801016}$ 倍、波長あたりの山 x＝$\mathbf{4.965114}$ では $\mathbf{142.324922}$ 倍で、宇宙背景放射の山 160.2 GHz でも $\mathbf{15.800801}$ 倍である（第4節）。

第四に、太陽の可視光はさらに粒子の側で、等しくなるのは赤外である。5778 K の 550 nm では x＝$\mathbf{4.527445}$、比は $\mathbf{91.521904}$ 倍、占有数は $\mathbf{0.010926}$ で、二つが等しくなる波長は $\mathbf{3.592448}$ μm である。2.725 K の背景放射では $\mathbf{7.617307}$ mm（$\mathbf{39.356749}$ GHz）、300 K の物体では 69.19 μm で等しくなる（第4節）。

第五に、ウィーンの式は粒子の項だけ、レイリー＝ジーンズの式は波の項だけである。x＝8 でウィーンの式のゆらぎはプランクの和と相対差 $\mathbf{-6.708\times10^{-4}}$、x＝0.05 でレイリー＝ジーンズの式のゆらぎは相対差 $\mathbf{0.000208}$ で、それぞれ片側の項だけで和に近づく（第5節）。

第六に、分離子は、占有数が 1 より大きいか小さいか、一つのモードに平均して光量子が一個より多く入っていれば波の項が勝ち、一個より少なければ粒子の項が勝つ。光が波か粒子かではなく、モードがどれだけ埋まっているかで、ゆらぎの形が決まる（第6節）。

キーワード：輻射のゆらぎ、光量子、プランクの放射則、ウィーンの式、レイリー＝ジーンズの式、占有数

Abstract

In 1909 Einstein showed that the energy fluctuation of a single mode of black-body radiation is the sum of a term like that of light quanta and a term like that of classical waves. This paper checks by three routes, the formula, the distribution of the occupation number and thermodynamics, that the ratio of the two terms is fixed by one number, the reciprocal of the occupation number, and counts where the two are equal and on which side the Planck peak and sunlight lie. No new theorem or law is claimed, and no interpretation of wave-particle duality is offered.

First, and this is the core. The particle term divided by the wave term is the reciprocal of the occupation number, and the two are equal exactly when the occupation number is 1、with u the mean energy of one mode and hν the energy of a light quantum, the mean square fluctuation is hν·u + u², and the first term over the second, hν/u, equals e to the power x minus 1 (x = hν/kT). Bisection puts the x at which this is 1 at $\mathbf{0.693147}$ = ln 2, where the occupation number is 1.000000 and the particle share is 0.500000 (Sections 2 and 3).

Second, three routes return the same numbers、at x = 0.5, ln 2, 2.821439 and 5, Einstein’s formula, the variance of the geometric distribution of the occupation number summed directly, and the thermodynamic kT² dU/dT by numerical differentiation all gave $\mathbf{3.917698089}$, $\mathbf{2.000000000}$, $\mathbf{0.067292322}$ and $\mathbf{0.006829673}$ (Section 2).

Third, the Planck peak lies on the particle side、at the peak per unit frequency, x = $\mathbf{2.821439}$, the particle term is $\mathbf{15.801016}$ times the wave term; at the peak per unit wavelength, x = $\mathbf{4.965114}$, it is $\mathbf{142.324922}$ times; at the 160.2 GHz peak of the cosmic background it is $\mathbf{15.800801}$ times (Section 4).

Fourth, visible sunlight lies further on the particle side, and equality comes in the infrared、at 550 nm and 5778 K, x = $\mathbf{4.527445}$, the ratio is $\mathbf{91.521904}$ and the occupation number $\mathbf{0.010926}$; the two terms are equal at $\mathbf{3.592448}$ μm. For the 2.725 K background the equality is at $\mathbf{7.617307}$ mm ($\mathbf{39.356749}$ GHz), and for a 300 K body at 69.19 μm (Section 4).

Fifth, Wien’s law carries only the particle term and the Rayleigh-Jeans law only the wave term、at x = 8 the fluctuation from Wien’s law differs from the Planck sum by a relative $\mathbf{-6.708\times10^{-4}}$, and at x = 0.05 the fluctuation from the Rayleigh-Jeans law differs by $\mathbf{0.000208}$; each approaches the sum with one term alone (Section 5).

Sixth, the separator is whether the occupation number is above or below 1、if a mode holds on average more than one light quantum the wave term wins, if fewer than one the particle term wins. Not whether light is a wave or a particle, but how full the mode is, decides the shape of the fluctuation (Section 6).

Keywords: energy fluctuation of radiation, light quantum, Planck's law, Wien's law, Rayleigh-Jeans law, occupation number

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第2版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1022/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1022 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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