YOI 1028：1929 年のハッブル定数では宇宙は地球より若く、宇宙項で救うには空っぽの宇宙が要る

論文1028 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1028 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860287）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1028,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {With Hubble's 1929 Constant the Universe Is Younger Than the Earth, and Saving It With the Cosmological Constant Takes a Nearly Empty Universe},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1028},
  doi = {10.5281/zenodo.22860287},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

アインシュタインは静止宇宙のために宇宙項を入れ、膨張が観測されると撤回したと伝えられる。しかし宇宙項は撤回のあとすぐ、別の理由で呼び戻された。ハッブルの 1929 年の値で計算すると、宇宙が地球より若くなったからである。本稿は、その年齢の矛盾の大きさと、宇宙項で救うのに要る割合と、実際に矛盾を解いたものが何だったかを数える。新しい定理も法則も主張せず、観測の宇宙項の値も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。1929 年の値では、宇宙は地球より若い。H0＝500 km/s/Mpc で年齢の目安 1/H0 は $\mathbf{1.955584}$ Gyr、物質だけの平坦な宇宙（アインシュタイン＝ド・ジッター）の年齢 2/(3H0) は $\mathbf{1.303723}$ Gyr で、地球の年齢の代表値 4.54 Gyr の $\mathbf{0.430745}$ 倍と $\mathbf{0.287164}$ 倍しかない（第2節）。

第二に、宇宙項で救うには、ほとんど空っぽの宇宙が要る。平坦な物質＋宇宙項の模型で年齢を 4.54 Gyr にするには ΩΛ＝$\mathbf{0.996178}$（物質の割合 $\mathbf{0.003822}$）が要る。ΩΛ＝0.3・0.7・0.9・0.99 では年齢は $\mathbf{1.464151}$・$\mathbf{1.885378}$・$\mathbf{2.498990}$・$\mathbf{3.921993}$ Gyr で、0.99 でもまだ地球より若い（第3節）。

第三に、年齢の式は二つの道で一致する。閉じた式 (2/(3H0))·asinh(√(ΩΛ/Ωm))/√ΩΛ と数値積分は五つの ΩΛ で $\mathbf{10^{-8}}$ Gyr 以内で一致し、ΩΛ→0 で 2/(3H0) に戻る（第3節）。

第四に、今の値では矛盾は無く、1929 年の値に今の宇宙項を入れても矛盾は残る。H0＝67.4・ΩΛ＝0.685 の年齢は $\mathbf{13.796235}$ Gyr（1/H0＝$\mathbf{14.507303}$ Gyr の $\mathbf{0.950985}$ 倍）である。1929 年の H0 に ΩΛ＝0.685 を入れても年齢は $\mathbf{1.859732}$ Gyr で、地球より若いままである（第4節）。

第五に、矛盾を解いたのは宇宙項ではなく距離の尺度だった。500 から 67.4 への比は $\mathbf{7.418398}$ で、これは宇宙の距離の尺度がそれだけ伸びたことに当たる。論文297 が示したとおり距離ははしごで測られ、はしごの段が直れば年齢は宇宙項無しでも伸びる（第4節）。

第六に、分離子は、年齢を伸ばしたのが宇宙項か、距離の尺度か、宇宙項で伸ばすには ΩΛ＝0.996178 の空っぽの宇宙が要り、距離の尺度で伸ばすには 7.418398 倍の直しが要った。実際に起きたのは後者で、宇宙項は別の理由（1013）で戻ってきた（第5節）。

キーワード：ハッブル定数、宇宙の年齢、宇宙項、距離のはしご、アインシュタイン＝ド・ジッター宇宙、地球の年齢

Abstract

Einstein is said to have introduced the cosmological constant for a static universe and to have withdrawn it once expansion was observed. Yet soon after its withdrawal the constant was called back for a different reason: computed with Hubble’s 1929 value, the universe came out younger than the Earth.This paper counts the size of that age contradiction, the share of cosmological constant needed to remove it, and what in fact removed it.No new theorem or law is claimed, nor any observed value of the cosmological constant.

First, and this is the core. With the 1929 value the universe is younger than the Earth、at H0 = 500 km/s/Mpc the age scale 1/H0 is $\mathbf{1.955584}$ Gyr and the age of a flat matter-only universe (Einstein-de Sitter), 2/(3H0), is $\mathbf{1.303723}$ Gyr: only $\mathbf{0.430745}$ and $\mathbf{0.287164}$ of the Earth’s representative age of 4.54 Gyr (Section 2).

Second, saving it with the cosmological constant takes a nearly empty universe、in a flat matter-plus-constant model, reaching 4.54 Gyr takes ΩΛ = $\mathbf{0.996178}$ (matter share $\mathbf{0.003822}$). At ΩΛ = 0.3, 0.7, 0.9 and 0.99 the age is $\mathbf{1.464151}$, $\mathbf{1.885378}$, $\mathbf{2.498990}$ and $\mathbf{3.921993}$ Gyr, still younger than the Earth even at 0.99 (Section 3).

Third, the age formula agrees by two routes、the closed form (2/(3H0))·asinh(√(ΩΛ/Ωm))/√ΩΛ and numerical integration agree within $\mathbf{10^{-8}}$ Gyr at five values of ΩΛ, and the formula returns to 2/(3H0) as ΩΛ → 0 (Section 3).

Fourth, with today’s values there is no contradiction, and putting today’s constant into the 1929 value leaves it、at H0 = 67.4 and ΩΛ = 0.685 the age is $\mathbf{13.796235}$ Gyr ($\mathbf{0.950985}$ of 1/H0 = $\mathbf{14.507303}$ Gyr). Putting ΩΛ = 0.685 into the 1929 H0 gives $\mathbf{1.859732}$ Gyr, still younger than the Earth (Section 4).

Fifth, what removed the contradiction was the distance scale, not the constant、the ratio from 500 to 67.4 is $\mathbf{7.418398}$, the factor by which the cosmic distance scale stretched. As Paper 297 showed, distances are measured on a ladder, and once its rungs were corrected the age lengthened without any cosmological constant (Section 4).

Sixth, the separator is whether the age was lengthened by the cosmological constant or by the distance scale、lengthening it with the constant takes an empty universe of ΩΛ = 0.996178; lengthening it with the distance scale took a correction of 7.418398. The latter is what happened, and the constant came back for a different reason (Paper 1013) (Section 5).

Keywords: Hubble constant, age of the universe, cosmological constant, distance ladder, Einstein-de Sitter universe, age of the Earth

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1028/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1028 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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