YOI 1068：体積の積が同じでも、繊維の絡み数が束を見分ける

論文1068 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1068 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22943680）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1068,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Even When the Volume Product Is the Same, the Linking Number of the Fibres Tells the Bundle Apart},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1068},
  doi = {10.5281/zenodo.22943680},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月9日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 970545・970546・970569・970582 に記録されました（2026年10月09日 08:41（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

三次元球面を円で埋める道は一つではない。どの道でも「底の面積 × 繊維の長さ ＝ 全体の体積」は同じ値になるが、繊維どうしが絡むかどうかは違う。本稿は、体積が落とす区別を拾う量を一つ置き、それが形では動かないことを測る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、ホップ束の繊維はちょうど一度絡む、外積の二重積分で $\mathbf{1.000030781}$、符号つき交差の数え上げで $\mathbf{1.000000000}$ と、独立な二つの道が同じ整数を返した。

第二に、巻き方を変えると絡み数は二つの整数の積になる。(1,2) で $\mathbf{2.000040}$、(2,3) で $\mathbf{6.000338}$、(2,5) で $\mathbf{10.001005}$ となり、隔たりは最大でも $\mathbf{0.001005}$ である。巻き方の片方が 0 の族は絡まない。

第三に、これが本稿の芯である。同じ二本の輪に当てる二重積分は、内積か外積かで別のものを測る。輪の形を変えると内積のほうは $\mathbf{0.138558522}$ から $\mathbf{0.606513969}$ まで動くのに（散らばり $\mathbf{0.467955447}$）、外積のほうの散らばりは $\mathbf{1.766}$×10⁻⁵ しかない。

第四に、その球面の上では、接触形式はどこでも退化しない。四百点で測って値はすべて $\mathbf{2.000000000000}$、散らばりは $\mathbf{1.554}$×10⁻¹⁵ であった。片方の組だけで作った対照は $\mathbf{0.000000000000}$ になる。

第五に、体積の積は二つの埋め方を見分けず、絡み数は見分ける。ホップ束では底の面積 $\mathbf{3.141592654}$ に繊維の長さ $\mathbf{6.283185307}$ を掛け、片方の複素数だけを回す埋め方では底の面積 $\mathbf{6.283185307}$ に円の長さの平均 $\mathbf{3.141592654}$ を掛ける。積はどちらも $\mathbf{19.739208802}$ なのに、絡み数は $\mathbf{1.000013}$ と $\mathbf{0.000000}$ に分かれる。

第六に、その底空間は半径を半分にした球面である。面積は $\mathbf{3.141592653590}$ で、全立体角 $\mathbf{12.566370614359}$ とは $\mathbf{9.424777961}$ 離れている。

正直に書く。接触構造の理論を作らず、ヘリシティの積分も計算していない。束の分類もしない。見分ける道具が一つあると言うだけである。

キーワード：絡み数、ホップ束、接触形式、立体角、写像の次数、体積の分解、分離子

Abstract

There is more than one way to fill a three-sphere with circles.Every such way gives the same value for "area of the base times length of the fibre equals the total volume," yet whether the fibres link one another differs.This paper places one quantity that recovers the distinction the volume drops, and measures that it does not move with the shape.No new theorem or law is claimed.

First, the fibres of the Hopf bundle link exactly once、the double integral of the cross product gives $\mathbf{1.000030781}$ and the signed crossing count gives $\mathbf{1.000000000}$, two independent routes returning the same integer.

Second, changing the winding makes the linking number the product of two integers、(1,2) gives $\mathbf{2.000040}$, (2,3) gives $\mathbf{6.000338}$ and (2,5) gives $\mathbf{10.001005}$, with a largest departure of $\mathbf{0.001005}$. A family with one winding equal to zero does not link.

Third, and this is the core. Two double integrals over the same pair of loops measure different things depending on whether they take a dot or a cross、changing the shape moves the dot version from $\mathbf{0.138558522}$ to $\mathbf{0.606513969}$ (spread $\mathbf{0.467955447}$), while the cross version has a spread of only $\mathbf{1.766}$×10⁻⁵.

Fourth, on that sphere the contact form never degenerates、measured at four hundred points every value was $\mathbf{2.000000000000}$ with a spread of $\mathbf{1.554}$×10⁻¹⁵, while a control built from only one of the two pairs gives $\mathbf{0.000000000000}$.

Fifth, the volume product does not tell the two fillings apart, and the linking number does、for the Hopf bundle the base area $\mathbf{3.141592654}$ is multiplied by the fibre length $\mathbf{6.283185307}$; for the filling that rotates only one of the two complex numbers the base area $\mathbf{6.283185307}$ is multiplied by the mean circle length $\mathbf{3.141592654}$. The product is $\mathbf{19.739208802}$ in both cases, yet the linking numbers split into $\mathbf{1.000013}$ and $\mathbf{0.000000}$.

Sixth, that base is a sphere of half the radius、its area is $\mathbf{3.141592653590}$, which differs from the full solid angle $\mathbf{12.566370614359}$ by $\mathbf{9.424777961}$.

Stated plainly、no theory of contact structures is built and no helicity integral is computed. Bundles are not classified. The claim is only that one tool tells them apart.

Keywords: linking number, Hopf bundle, contact form, solid angle, degree of a map, volume decomposition, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第2版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1068/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1068 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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