Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1082 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1082 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1082,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 4π in g = 4πħ²a/m Is a Solid Angle, and Setting m = 4π Turns It into g = ħ²a},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1082},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月8日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

冷たく希薄な気体では、二つの粒のあいだの力を、たった一つの数 g で表す。その数は g = 4πħ²a/m と書かれ、a は散乱長、m は粒の質量である。本稿は、この式の 4π が何の 4π なのかを数え、質量を 4π と置いたときに何が消え、何が残るかを見る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、g は、的の外へ出ていく流れである。エネルギーがゼロの解 ψ で重みを付けて力を足した量は、ガウスの定理によって、遠くの球面を外向きに抜ける流れに書き直せる。遠くの解は 1 − a/r の形なので、流れは全方向の立体角 4π に a を掛けたものになる。六つの的（段、ガウス型、引力の井戸）で、足した量と 4πħ²a/m の比はどれも $\mathbf{1.000000000}$ だった。的の中では流れはまだ育っておらず（ガウス型の的で、半径 1 の球面では最後の値の $\mathbf{0.398254166}$ 倍）、的の外に出ると半径によらなくなる。

第二に、力そのものを足した量では、弱いときしか合わない。解の重みを付けずに力を足した値（ボルン近似）で決めた散乱長と、本当の散乱長の比は、段の的の強さ κR が 0.1 のとき $\mathbf{0.996016125}$、1 のとき $\mathbf{0.715217532}$、10 のとき $\mathbf{0.027000000}$ である。固い球に近づくと、力を足した値は限りなく大きくなるのに、散乱長は的の半径に落ち着き、g は有限のままである。

第三に、質量を 4π と置くと、g = ħ²a になる。g・m/(ħ²a) は、ħ と m をどう選んでも $\mathbf{12.566370614}$ で、m = 4π と置けば g/(ħ²a) は $\mathbf{1.000000000}$ になる。ただし、分子の 4π は単位を持たない立体角で、分母の 4π は単位を選んで置いた質量である。正体は別で、数として打ち消し合っているだけである。

第四に、これが本稿の芯である。質量が入っていない式には、4π が残る。気体の波が乱れから立ち直る長さ（回復長）は 1/√(8πna) で、n は数密度である。この式には質量もプランク定数も入っていない。置いた数（n = 10²⁰ m⁻³、a = ボーア半径の 100 倍）では $2.742076$×10⁻⁷ m で、粒の間隔の $\mathbf{1.272759}$ 倍である。質量を 4 分の 1 にすると g と音の速さは $\mathbf{4.000000}$ 倍になるが、回復長は $\mathbf{1.000000}$ 倍のままだった。質量をどう選んでも、ここの 4π は動かせない。

第五に、次元を変えると、4π は (d−2)×（単位球の表面積）になる。d 次元では、g は (d−2)×S×ħ²/m に a の d−2 乗を掛けたもので、S は d 次元の単位球の表面積である。係数は 3 次元から順に 4π、4π²、8π²、4π³ で、段の的で数値と比 $\mathbf{1.000000000}$ で合った。質量を単位球の表面積に取っても、4 次元では 2、5 次元では 3、6 次元では 4 が残る。何も残らないのは 3 次元だけである。

第六に、ħ²/m は、拡散係数の役をしている。論文249 は、拡散する分子を球が捕らえる速さが 4π×（拡散係数）×（半径）であり、その 4π がガウスの法則の立体角であることを示した。g = 4π×(ħ²/m)×a は同じ形で、的の外の方程式も同じラプラス方程式である。

正直に書くと、散乱長をボーア半径の 100 倍としたのは置いた数で、特定の原子の測定値ではない。回復長が質量によらないことは式の整理から出ることで、測定で確かめたものではない。

キーワード：散乱長、結合定数、ガウスの定理、立体角、回復長、ボルン近似、単位の選択

Abstract

In a cold, dilute gas the force between two particles is represented by a single number g.It is written g = 4πħ²a/m, where a is the scattering length and m the mass of a particle.This paper counts what the 4π in this formula is, and looks at what disappears and what remains when the mass is set to 4π.No new theorem or law is claimed.

First, g is the flow going out of the target. The force summed with the weight of the zero-energy solution ψ can be rewritten, by Gauss’s theorem, as the flow passing outward through a distant sphere. The distant solution has the form 1 − a/r, so the flow is the full solid angle 4π multiplied by a. For six targets (steps, Gaussians, an attractive well) the ratio of the summed quantity to 4πħ²a/m was $\mathbf{1.000000000}$ in every case. Inside the target the flow has not yet grown (for a Gaussian target, at the sphere of radius 1 it is $\mathbf{0.398254166}$ of its final value), and once outside the target it no longer depends on the radius.

Second, the force summed by itself agrees only when it is weak. The ratio of the true scattering length to the one fixed by summing the force without the weight of the solution (the Born approximation) is $\mathbf{0.996016125}$ when the strength κR of a step target is 0.1, $\mathbf{0.715217532}$ when it is 1 and $\mathbf{0.027000000}$ when it is 10. Towards a hard sphere the summed force grows without bound, while the scattering length settles to the radius of the target and g stays finite.

Third, setting the mass to 4π gives g = ħ²a. g·m/(ħ²a) is $\mathbf{12.566370614}$ however ħ and m are chosen, and with m = 4π the ratio g/(ħ²a) is $\mathbf{1.000000000}$. But the 4π in the numerator is a solid angle, which has no unit, and the 4π in the denominator is a mass placed there by a choice of unit. They are different things, and they merely cancel as numbers.

Fourth, and this is the core of the paper: a formula that does not contain the mass keeps its 4π. The length over which the wave of the gas recovers from a disturbance (the healing length) is 1/√(8πna), where n is the number density. Neither the mass nor Planck’s constant appears in it. With the numbers assumed here (n = 10²⁰ m⁻³, a = 100 Bohr radii) it is $2.742076$×10⁻⁷ m, $\mathbf{1.272759}$ times the spacing of the particles. Reducing the mass to a quarter multiplies g and the speed of sound by $\mathbf{4.000000}$ but leaves the healing length at $\mathbf{1.000000}$ times its value. However the mass is chosen, this 4π cannot be moved.

Fifth, when the dimension is changed, 4π becomes (d−2) times the surface area of the unit sphere. In d dimensions g is (d−2)×S×ħ²/m multiplied by a to the power d−2, with S the surface area of the unit sphere in d dimensions. The coefficient is 4π, 4π², 8π², 4π³ from three dimensions upward, and for a step target it agreed with the numerical value with a ratio of $\mathbf{1.000000000}$. Even when the mass is taken to be the surface area of the unit sphere, a factor of 2 remains in four dimensions, 3 in five and 4 in six. Only in three dimensions does nothing remain.

Sixth, ħ²/m plays the part of a diffusion coefficient. Paper 249 showed that the rate at which a sphere captures diffusing molecules is 4π times the diffusion coefficient times the radius, and that this 4π is the solid angle of Gauss’s law. g = 4π×(ħ²/m)×a has the same form, and the equation outside the target is the same Laplace equation.

To be candid, the scattering length of 100 Bohr radii is an assumed number, not a measured value for a particular atom. That the healing length does not depend on the mass follows from rearranging the formulas and has not been checked by measurement here.

Keywords: scattering length, coupling constant, Gauss’s theorem, solid angle, healing length, Born approximation, choice of unit

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1082/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1082 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ