Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1088 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1088 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1088,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Same 4π/m, but the 4π of the Plasma Frequency Is a Solid Angle and the 4π of Bethe's Formula Is Twice the 2π of a Ring},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1088},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月8日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

電子の気体が揺れる速さを決める式（プラズマ振動数）と、速い粒が物質の中で止められる力の式（ベーテの式）には、どちらも 4π を質量 m で割った形が入っている。本体系の質量の取り方 m = 4π を入れると、どちらの式からも π が消える。本稿は、二つの 4π が同じものかどうかを、出どころを数えて確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、プラズマ振動数の 4π は、電荷の面から出る場の立体角である。電子の板を少しずらすと、板の端に電荷の面が現れる。電荷の面の両側の電場の差を数値の積分で出すと、3 次元で $\mathbf{12.566370614}$（4π）、4 次元で $\mathbf{19.739208802}$（2π²）で、どの次元でも単位球の表面積になる。板の運動を数値で解いた振動数の二乗は、4π と相対差 10⁻⁸ 以内で合った。

第二に、ベーテの式の 4π は、輪の周 2π に 2 を掛けたものである。速い粒が電子の横を通り過ぎるとき、電子に渡す運動量は、距離 b に反比例し、係数は 2 である（力を時間で足した値）。電子が受け取るエネルギーは、その二乗を 2m で割ったもので、4 を 2 で割って 2 が残る。距離 b の所にいる電子は半径 b の輪の上に並ぶので、輪の周 2πb を掛ける。2π × 2 = 4π である。3 次元では、実際の軌道を解いた運動量が、厳密な式と $\mathbf{0.999999500}$ の比で合った。

第三に、これが本稿の芯である。次元を変えると、二つの係数は別の数になる。プラズマ振動数の係数は、3 次元から 6 次元で 4π、2π²、8π²/3、π³ である。ベーテの式の係数は 4π、π³/2、16π²/9、3π⁴/16 で、数値では $12.566370614$、$15.503138340$、$17.545963380$、$18.264204569$ になる。二つの比は 1、$\mathbf{0.785398163}$、$\mathbf{0.666666667}$、$\mathbf{0.589048623}$ で、同じ数になるのは 3 次元だけである。

第四に、その比は、球が外接する円柱に占める割合である。比の列 π/4、2/3、3π/16 は、論文1080 が数えた「球 ÷ 外接する円柱」の割合（2 次元、3 次元、4 次元）と同じである。渡す運動量の係数が、隣り合う次元の単位球の表面積の比になっているからである。3 次元のベーテの式でこの割合が 1 なのは、1 次元の球（線分）が、外接する円柱（同じ線分）をちょうど埋めるからである。

第五に、衝突の対数が出るのは、3 次元だけである。ベーテの式には、遠い衝突と近い衝突の距離の比の対数が掛かる。距離についての積分の上の端を 10 倍にすると、3 次元では $\mathbf{2.302585}$（10 の自然対数）だけ増えるが、4 次元では $0.009000$、5 次元では $0.000049$ しか増えない。遠くの衝突が近くの衝突と同じだけ効くのは、3 次元に限られる。

正直に書くと、検算で一度落ちた。軌道を解くとき、粒の出発点を有限の距離に置いて速さを 1 のまま出したため、運動量が 0.02 パーセントずれた。出発点での速さと位置を、遠くでの値に合わせて直した。式ではなく、測り方の誤りである。

キーワード：プラズマ振動数、阻止能、ベーテの式、立体角、衝突径数、単位の選択、次元

Abstract

The formula that fixes how fast an electron gas oscillates (the plasma frequency) and the formula for the force that stops a fast particle in matter (Bethe’s formula) both contain 4π divided by a mass m.Putting in the choice of mass of this corpus, m = 4π, removes π from both formulas.This paper checks whether the two 4π are the same thing, by counting where each comes from.No new theorem or law is claimed.

First, the 4π of the plasma frequency is the solid angle of the field coming out of a sheet of charge. Displacing a slab of electrons slightly makes sheets of charge appear at its ends. The difference between the electric fields on the two sides of a sheet of charge, obtained by numerical integration, is $\mathbf{12.566370614}$ (4π) in three dimensions and $\mathbf{19.739208802}$ (2π²) in four, the surface area of the unit sphere in every dimension. The squared frequency obtained by solving the motion of the slab numerically agreed with 4π to a relative difference of 10⁻⁸.

Second, the 4π of Bethe’s formula is the circumference 2π of a ring multiplied by 2. When a fast particle passes beside an electron, the momentum it gives to the electron is inversely proportional to the distance b, with a coefficient of 2 (the force summed over time). The energy the electron receives is the square of that divided by 2m: 4 divided by 2 leaves 2. The electrons at distance b lie on a ring of radius b, so the circumference 2πb multiplies. 2π × 2 = 4π. In three dimensions the momentum obtained by solving the actual orbit agreed with the exact formula with a ratio of $\mathbf{0.999999500}$.

Third, and this is the core of the paper: when the dimension is changed, the two coefficients become different numbers. The coefficient of the plasma frequency is 4π, 2π², 8π²/3, π³ in three to six dimensions. The coefficient of Bethe’s formula is 4π, π³/2, 16π²/9, 3π⁴/16, numerically $12.566370614$, $15.503138340$, $17.545963380$, $18.264204569$. Their ratio is 1, $\mathbf{0.785398163}$, $\mathbf{0.666666667}$, $\mathbf{0.589048623}$: they are the same number only in three dimensions.

Fourth, that ratio is the fraction of a circumscribed cylinder filled by a ball. The sequence of ratios π/4, 2/3, 3π/16 is the same as the fraction “ball ÷ circumscribed cylinder” counted in Paper 1080 (in two, three and four dimensions). This is because the coefficient of the transferred momentum is the ratio of the surface areas of the unit spheres of neighbouring dimensions. In the three-dimensional Bethe formula this fraction is 1 because the one-dimensional ball (a segment) exactly fills its circumscribed cylinder (the same segment).

Fifth, the collision logarithm appears only in three dimensions. Bethe’s formula carries the logarithm of the ratio of the distances of far and near collisions. Multiplying the upper end of the integral over distance by 10 adds $\mathbf{2.302585}$ (the natural logarithm of 10) in three dimensions, but only $0.009000$ in four and $0.000049$ in five. Only in three dimensions do far collisions count as much as near ones.

To be candid, one check failed once. In solving the orbit, the particle was started at a finite distance with its speed left at 1, and the momentum was off by 0.02 percent. The speed and position at the start were corrected to match the values far away. The mistake was in the measuring, not in the formula.

Keywords: plasma frequency, stopping power, Bethe formula, solid angle, impact parameter, choice of unit, dimension

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1088/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1088 はいつも最新の版を指します）。

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