論文1097 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1097 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。
日付の証拠（OpenTimestamps）：日本語版の .ots・英語版の .ots・SHA256SUMS
住所：https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1097・CC BY 4.0・プレプリント（査読を経ていません）・ORCID 0009-0006-8587-3450
引用するとき
山岸勇輝 (2026). 格子に並べた双極子の場の和は足す形で決まり、球で 0、細い針で 4π/3、薄い板で −8π/3 になる [論文1097]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1097
Yamagishi, Y. (2026). A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate [Paper 1097]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1097
@misc{yamagishi2026yoi1097,
author = {Yamagishi, Yuuki},
title = {A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate},
year = {2026},
howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1097},
note = {Preprint, edition 2}
}指紋（SHA-256）と確かめ方
bf6f0877f584b917c3139bc8452b9a3eda1a8ef5d380b96454832dfc5223f388 yamagishi_yoi1097_v2_jp.pdff7fb6558d49b51e5c6e78db3964d1bb60e41ace513c8d7fb23ed6d9846792cde yamagishi_yoi1097_v2_en.pdfPDF と .ots を同じ場所に保存し、opentimestamps.org に .ots、続けて PDF を落とすと、記録された日時が表示されます。PDF が 1 バイトでも変わっていれば通りません。
日付の証拠（OpenTimestamps）
2026年10月29日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973680・973681・973699 に記録されました（2026年10月29日 19:29（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。
書誌
| 題名 | 格子に並べた双極子の場の和は足す形で決まり、球で 0、細い針で 4π/3、薄い板で −8π/3 になる |
|---|---|
| Title | A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate |
| 著者 | 山岸 勇輝 (Yuuki YAMAGISHI)・ORCID 0009-0006-8587-3450 |
| 所属 | 山岸複雑性トーラス研究所 (Yamagishi Complexity Torus Lab, Japan) |
| 版 | 第2版（2026年10月） |
| 言語 | 日本語・英語 |
| 種別 | プレプリント（査読を経ていません） |
| ライセンス | CC BY 4.0（出典を示せば、複製・再配布・改変ができます） |
| YOI | https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1097 |
要旨
論文01 は、3 次元で殻ごとの重さが半径によらないのは指数 2 のときだけだと示し、論文496 はそのとき和が半径に比例して増えることを数えた。論文1094 は、指数が次元に等しいときが、足し合わせの止まらなくなる境目であることを地図（2 次元）で数えた。本稿は、3 次元のその境目、指数 3 を数える。双極子の場はちょうど距離の 3 乗で弱まる。新しい定理も法則も主張しない。
第一に、指数 3 の殻は、符号つきで 0、絶対値で 1/R の寄与を持つ。格子の上の球の殻で双極子の場を足すと、符号つきの和は 0、絶対値の和に半径を掛けると 9.3091 から 9.5850 へ、球面の積分 16π/(3√3)＝9.673597 へ寄る。絶対値で足すと、半径を 10 倍にするごとに 22.274279 ずつ増える（対数）（第2節）。
第二に、これが本稿の芯である。同じ格子、同じ双極子でも、足す領域の形で和が変わる。単純立方格子に同じ向きの双極子を並べ、一点が受ける場を回転楕円体の中で足すと、球で 0、30 倍に細長い形で 4.1488、30 分の 1 に平たい形で −7.8539 だった。標準の答え 4π(1/3−D)（D は反電場係数）では、それぞれ 0、4.1455、−7.7465 である（第3節）。
第三に、極限は 0・4π/3・−8π/3 で、論文1084 の縦と横の取り分と同じ数である。細い針の極限は 4π/3＝4.188790205、薄い板の極限は −8π/3、差は全立体角の 4π である。論文1084 が一つの源の場を球の中で積分して出した縦 4π/3 と横 8π/3 が、多くの源を一点で足す離散の和にも現れる（第4節）。
第四に、クラウジウス＝モソッティの式の ＋2 と 3 は、立方の格子の対称が決める 1/3 から来る。立方の格子を球で切ると近くの和が 0 になり、局所の場は平均の場に分極の 1/3 を足したものになる。切る形を変えても、穴の場と近くの和の合計は同じ 1/3 に戻る（第3節の五つの形で 4.0636 から 4.2137、4π/3 は 4.1888）。その 1/3 が (ε−1)/(ε＋2) の 2 と 3 を作る。Nα/ε0＝1 で、この式の ε は 2.5、局所の場を無視した ε は 2.0 である（第5節）。
第五に、分離子は、足す領域の形である。指数が次元より小さいと外が、大きいと内が和を決める。ちょうど次元に等しい境目では、どちらも決めきれず、形が決める。
キーワード：双極子、格子の和、反電場係数、クラウジウス＝モソッティの式、唯一性定理、立体角、分離子
Abstract
Paper 01 showed that in three dimensions the weight per shell is independent of the radius only for exponent 2, and Paper 496 counted that the sum then grows in proportion to the radius. Paper 1094 counted on a map (two dimensions) that an exponent equal to the dimension is the border where a summation stops converging. This paper counts that border in three dimensions, exponent 3. The field of a dipole weakens exactly as the cube of the distance. No new theorem or law is claimed.
First, a shell at exponent 3 contributes 0 with signs and 1/R in absolute value. Summing dipole fields over spherical shells of a lattice, the signed sum is 0, and the absolute sum times the radius goes from 9.3091 to 9.5850, approaching the spherical integral 16π/(3√3) = 9.673597. Summed in absolute value, the total grows by 22.274279 each time the radius is multiplied by 10 (logarithmically) (Section 2).
Second, and this is the core of the paper: with the same lattice and the same dipoles, the sum changes with the shape of the region summed over. Placing dipoles of the same orientation on a simple cubic lattice and summing the field at one point over a spheroid, the result was 0 for a sphere, 4.1488 for a shape 30 times elongated, and -7.8539 for a shape flattened to 1/30. The standard answer 4π(1/3 - D), with D the depolarization factor, gives 0, 4.1455 and -7.7465 (Section 3).
Third, the limits are 0, 4π/3 and -8π/3, the same numbers as the longitudinal and transverse shares of Paper 1084. The limit of a thin needle is 4π/3 = 4.188790205, that of a thin plate is -8π/3, and their difference is the full solid angle 4π. The longitudinal 4π/3 and transverse 8π/3 that Paper 1084 obtained by integrating the field of one source over a sphere also appear in this discrete sum of many sources at one point (Section 4).
Fourth, the +2 and the 3 of the Clausius-Mossotti relation come from the 1/3 decided by the symmetry of the cubic lattice. Cutting a cubic lattice with a sphere makes the nearby sum 0, and the local field becomes the mean field plus 1/3 of the polarization. Changing the shape of the cut, the cavity field and the nearby sum still add up to the same 1/3 (4.0636 to 4.2137 for the five shapes of Section 3, against 4π/3 = 4.1888). That 1/3 makes the 2 and the 3 of (ε - 1)/(ε + 2). At Nα/ε0 = 1, this relation gives ε = 2.5, while ignoring the local field gives 2.0 (Section 5).
Fifth, the separator is the shape of the region summed over. When the exponent is smaller than the dimension the outside decides the sum, and when it is larger the inside decides. At the border, exactly equal to the dimension, neither can decide, and the shape does.
Keywords: dipole, lattice sum, depolarization factor, Clausius-Mossotti relation, uniqueness theorem, solid angle, separator
版の記録
ここの PDF（倉庫の v2）は第2版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1097/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1097 はいつも最新の版を指します）。