YOI 1099：結び目は 4π より多く曲がり、その 4π は大円二本ぶんの長さである

論文1099 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1099 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1099,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Knot Bends More Than 4π, and That 4π Is the Length of Two Great Circles},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1099},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月30日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973711・973725・973738 に記録されました（2026年10月30日 01:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

閉じた曲線がどれだけ曲がるかを、曲率を一周足した全曲率で測る。フェンチェル（1929）は、空間のどんな閉じた曲線も 2π 以上曲がり、ちょうど 2π なのは平らな凸の曲線だけであることを示した。ファーリー（1949）とミルナー（1950）は、結び目のある曲線が 4π より多く曲がることを示した。本稿は、この 4π が何であるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、全曲率は、高さの山と谷の数の平均の π 倍である。接線の向きを集めると球面の上に一本の曲線ができ、その長さが全曲率である。でたらめな向きの大円がこの曲線と交わる回数の平均は長さ ÷ π で（球面のクロフトンの公式）、交わる所はその大円に垂直な向きから見た高さの山か谷である。向きを 10 万通り選んで数えると、三葉結び目で全曲率 ÷ 4π＝1.418263 に対して π×平均 ÷ 4π＝1.418400 で、3 次元の八本の曲線で差は 1 万分の 1 以下だった（第2節）。

第二に、結び目では、どの向きから見ても山と谷が四つ以上ある。最少は三葉結び目で 4、8 の字結び目で 6 だった。輪に対して管を細くするほど、全曲率は 2π ×（輪を回る回数）に上から寄り、三葉結び目は R＝50 で 4π の 1.000282 倍、接線の描く曲線は赤道を二周する曲線に近づく（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。この 4π は、球の面積ではなく、大円二本ぶんの長さである。全曲率＝π×（山と谷の平均）の π は、2 次元でも 4 次元でも π のままで（球面の面積を 2π で割ると二つ下の次元の球の体積になるため・論文1083）、立体角は 2π・4π・2π² と変わる。4 次元の曲線で全曲率 ÷ π＝3.557777 に対して山と谷の平均は 3.553970（標準誤差 0.0034）だった。論文60 が分けた三つの 4π（立体角・位相・質量）のどれでもない、長さの 4π である（第4節）。

第四に、全曲率の大きさは、結び目のしるしにならない。ほどけた波打つ輪は 4π の 2.024555 倍曲がるが、山と谷が二つしかない向きがある。平らなリマソン（内側に輪のある曲線）は自分と交わり、どの向きでも山と谷が 4 つで全曲率はちょうど 4π だが、交わる所を空間へ持ち上げると、ほどけた輪として 4π の 0.984749 倍に下がる。分離子は、置き方を変えても、どの向きから見ても山と谷が四つ以上残るかどうかである（第5節）。

キーワード：全曲率、結び目、ファーリー＝ミルナーの定理、クロフトンの公式、臨界点、大円、分離子

Abstract

How much a closed curve bends is measured by its total curvature, the curvature added up once around. Fenchel (1929) showed that every closed curve in space bends at least 2π, and exactly 2π only when it is a flat convex curve. Fáry (1949) and Milnor (1950) showed that a knotted curve bends more than 4π. This paper counts what that 4π is. No new theorem or law is claimed.

First, the total curvature is π times the mean number of peaks and valleys of the height. Gathering the directions of the tangent gives one curve on the sphere, and its length is the total curvature. A great circle in a random direction meets this curve on average its length ÷ π times (Crofton’s formula on the sphere), and each meeting is a peak or a valley of the height seen from the direction perpendicular to that great circle. Counting with 100,000 directions, the trefoil has total curvature ÷ 4π = 1.418263 against π × mean ÷ 4π = 1.418400, and over eight curves in three dimensions the difference was below one part in ten thousand (Section 2).

Second, a knot has at least four peaks and valleys from every direction. The minimum was 4 for the trefoil and 6 for the figure-eight knot. As the tube is made thinner relative to the ring, the total curvature approaches 2π × (the number of turns around the ring) from above; the trefoil at R = 50 is 1.000282 times 4π, and the curve drawn by the tangent approaches a curve going twice around the equator (Section 3).

Third, and this is the core of the paper. This 4π is not the area of the sphere but the length of two great circles. The π in total curvature = π × (mean number of peaks and valleys) stays π in two and in four dimensions (because the area of a sphere divided by 2π is the volume of the ball two dimensions lower; Paper 1083), while the solid angle changes as 2π, 4π, 2π². For a curve in four dimensions, total curvature ÷ π = 3.557777 against a mean of 3.553970 peaks and valleys (standard error 0.0034). It is none of the three 4π separated in Paper 60 (solid angle, topology, mass); it is a 4π of length (Section 4).

Fourth, the size of the total curvature is not a sign of a knot. An unknotted wavy ring bends 2.024555 times 4π, yet there is a direction with only two peaks and valleys. A flat limaçon (a curve with an inner loop) crosses itself, has four peaks and valleys from every direction and total curvature exactly 4π; lifting the crossing into space makes it an unknotted ring, and its total curvature falls to 0.984749 times 4π. The separator is whether, however the curve is placed, at least four peaks and valleys remain from every direction (Section 5).

Keywords: total curvature, knot, Fáry–Milnor theorem, Crofton formula, critical point, great circle, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1099/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1099 はいつも最新の版を指します）。

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