論文1101 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1101 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。
日付の証拠（OpenTimestamps）：日本語版の .ots・英語版の .ots・SHA256SUMS
住所：https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1101・CC BY 4.0・プレプリント（査読を経ていません）・ORCID 0009-0006-8587-3450
引用するとき
山岸勇輝 (2026). 凹むと平均の影は表面積の 4 分の 1 を割るが、出入りごとの平均の弦は 4V/S のまま残る [論文1101]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1101
Yamagishi, Y. (2026). A Dented Body Casts Less Than a Quarter of Its Surface as Shadow, but Its Mean Chord per Entry Stays 4V/S [Paper 1101]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1101
@misc{yamagishi2026yoi1101,
author = {Yamagishi, Yuuki},
title = {A Dented Body Casts Less Than a Quarter of Its Surface as Shadow, but Its Mean Chord per Entry Stays 4V/S},
year = {2026},
howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1101},
note = {Preprint, edition 1}
}指紋（SHA-256）と確かめ方
62c05b29feaaa00f868395bab252424c0b72f88d4f039df18044c14658ef7c08 yamagishi_yoi1101_v1_jp.pdf83b7ee7ac1d5944f5b96332c919df60f91e9ed319ed1969601412d78ff39810b yamagishi_yoi1101_v1_en.pdfPDF と .ots を同じ場所に保存し、opentimestamps.org に .ots、続けて PDF を落とすと、記録された日時が表示されます。PDF が 1 バイトでも変わっていれば通りません。
日付の証拠（OpenTimestamps）
2026年10月30日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973721・973725・973738 に記録されました（2026年10月30日 02:34（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。
書誌
| 題名 | 凹むと平均の影は表面積の 4 分の 1 を割るが、出入りごとの平均の弦は 4V/S のまま残る |
|---|---|
| Title | A Dented Body Casts Less Than a Quarter of Its Surface as Shadow, but Its Mean Chord per Entry Stays 4V/S |
| 著者 | 山岸 勇輝 (Yuuki YAMAGISHI)・ORCID 0009-0006-8587-3450 |
| 所属 | 山岸複雑性トーラス研究所 (Yamagishi Complexity Torus Lab, Japan) |
| 版 | 第1版（2026年10月） |
| 言語 | 日本語・英語 |
| 種別 | プレプリント（査読を経ていません） |
| ライセンス | CC BY 4.0（出典を示せば、複製・再配布・改変ができます） |
| YOI | https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1101 |
要旨
凸の立体をでたらめな向きから照らすと、影の面積の平均は表面積の 4 分の 1 になる（コーシー, 1850）。でたらめな直線が立体の中を通る長さ（弦）の平均は 4V/S である（V は体積、S は表面積）。本稿は、立体が凹んだときにこの二つがどうなるかを、同じ直線の束で数える。新しい定理も法則も主張しない。
第一に、凹むと、平均の影は表面積の 4 分の 1 を割る。単位立方体を並べた凸でない四つの形（L 字・離した二つ・U 字・穴のある輪）で、平均の影 ÷（表面積 ÷ 4）は 0.971535・0.967007・0.945467・0.924953 だった。凸の二つの箱では 0.999983 と 1.000167 である（第3節）。
第二に、これが本稿の芯である。出入りの一組ごとの平均の弦は、凹んでも 4V/S のまま残る。六つの形すべてで、区間ごとの平均の弦 ÷ 4V/S の 1 からの外れは 0.000215 以内だった。当たった直線一本あたりの出入りの数は、影の不足のちょうど逆数で（1.029373・1.034436・1.057706・1.081181）、二つの積の 1 からの外れは 0.000306 以内である。影は直線一本ごとに数え、弦は出入りの一組ごとに数える。凸なら一本に一組なので二つは同じ数え方になり、凹むと分かれる（第3節）。
第三に、平面では、つながった形の影を凸の殻が決めるが、空間では決めない。平面の L 字と穴のある輪では、平均の幅 ÷（凸の殻の周 ÷ π）が 1.000004 と 1.000005 だった。空間では、つながった L 字・U 字・穴のある輪でも、平均の影 ÷（凸の殻の表面積 ÷ 4）が 0.943617・0.945467・0.986617 と 1 を割る（第4節）。
第四に、4V/S の 4 は、どの次元でもアルキメデスの比である。平均の弦の係数は、球の表面積を大円の円盤の面積で割った比に、2 次元から 6 次元まで一致した（2 次元で π、4 次元で 4.712388980）。論文1099 の、大円が一ラジアン回るときに掃く量とは、3 次元でだけ同じ 4 になる（第5節）。
第五に、分離子は、直線一本ごとに数えるか、出入りの一組ごとに数えるかである。論文277 は残響時間の 4V/S を凸の部屋で使い、凹んだ部屋を扱わなかった。出入りの一組ごとに数える量なら、凹んだ形でもその 4 は残る（第6節）。
キーワード：平均の影、平均の弦、コーシーの公式、凸の殻、積分幾何、アルキメデスの比、分離子
Abstract
Lit from random directions, a convex solid casts a shadow whose mean area is a quarter of its surface area (Cauchy, 1850). The mean length of a random line inside it (the chord) is 4V/S (V the volume, S the surface area). This paper counts, with one bundle of lines, what happens to these two when the solid is dented. It claims no new theorem and no new law.
First, when dented, the mean shadow falls below a quarter of the surface. For four non-convex shapes made of unit cubes (L shape, two apart, U shape, ring with a hole), the mean shadow ÷ (surface ÷ 4) was 0.971535, 0.967007, 0.945467 and 0.924953. For the two convex boxes it is 0.999983 and 1.000167 (Section 3).
Second, and this is the core of the paper: the mean chord per entry stays 4V/S when dented. For all six shapes the mean chord per segment ÷ 4V/S stayed within 0.000215 of 1. The number of entries per line that hits is exactly the reciprocal of the shortfall of the shadow (1.029373, 1.034436, 1.057706, 1.081181), and their product stays within 0.000306 of 1. The shadow is counted per line and the chord per entry. For a convex body a line enters once, so the two counts agree; dented, they part (Section 3).
Third, in the plane the convex hull fixes the shadow of a connected shape; in space it does not. For the planar L shape and ring, the mean width ÷ (perimeter of the convex hull ÷ π) was 1.000004 and 1.000005. In space, even the connected L shape, U shape and ring give mean shadow ÷ (surface of the convex hull ÷ 4) of 0.943617, 0.945467 and 0.986617, below 1 (Section 4).
Fourth, the 4 of 4V/S is Archimedes’ ratio in every dimension. The coefficient of the mean chord equals the surface of the sphere divided by the area of its great disk from two to six dimensions (π in two, 4.712388980 in four). It equals the amount swept when a great circle turns by one radian (Paper 1099) only in three dimensions, where both are 4 (Section 5).
Fifth, the separator is whether one counts per line or per entry. Paper 277 used the 4V/S of the reverberation time in convex rooms and did not treat dented rooms. For a quantity counted per entry, the 4 remains in dented shapes too (Section 6).
Keywords: mean shadow, mean chord, Cauchy's formula, convex hull, integral geometry, Archimedes' ratio, separator
版の記録
ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1101/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1101 はいつも最新の版を指します）。